Question

Se consideran las siguientes matrices:
A= ( x y z y 0 y 1 z z) B= (a 2 3 ) C=(4 0 2 )

-hallar los valores de x, y z para los que A no tiene inversa
-Determina los valores de A , para el sistema BA=C tenga solucion

Answer 1

Siendo A la matriz propuesta, esta no admite inversa si (y=0)∨(x=1∧y=z), asimismo el sistema BA=C tiene solución para valores de 'a' tales que:

$a\epsilon R-\{0,\frac{-3-\sqrt{33}}{2},\frac{-3+\sqrt{33}}{2}\}$

Explicación paso a paso:

Se puede decir que una matriz cuadrada no admite inversa cuando su determinante es cero, lo que significa que su rango no es igual a su orden. El determinante de A es:

$|A|=det\left[\begin{array}{ccc}x&y&z\\y&0&y\\1&z&z\end{array}\right] \\\\|A|=x(0.z-zy)-y(yz-y)+z(yz-1.0)=-xzy-y^2z+y^2+yz^2\\\\-xzy-y^2z+y^2+yz^2=0\\\\y(-xz-yz+y+z^2)=0$

Con lo cual A no admite inversa cuando y es 0, y también cuando se cumple:

$-xz-yz+y+z^2=0$

Ecuación que a priori no dice mucho, pero viendo la matriz vemos que habrá combinaciones lineales entre la primera y la tercera fila cuando sea y=z, reemplazando queda:

$y=z=>-xz-z^2+z+z^2=0=> -xz+z=0=> x=1$

Con lo que la matriz A no admite inversa si (y=0)∨(x=1∧y=z)

Ahora si desglosamos la ecuación BA=C tenemos:

$\left[\begin{array}{ccc}a&2&3\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}x&y&z\\y&0&y\\1&z&z\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}4&0&2\end{array}\right]$

Recordando la regla de producto de matrices nos queda:

$ax+2y+3=4\\ay+3z=0\\az+2y+3z=2$

O escribiéndolo de otra forma:

$ax+2y=1\\ay+3z=0\\2y+(3+a)z=2$

De acuerdo con la regla de Cramer, para que un sistema de ecuaciones lineales sea compatible determinado, la matriz de coeficiente debe tener determinante no nulo. Queda:

$det\left[\begin{array}{ccc}a&2&1\\0&a&3\\0&2&a+3\end{array}\right] =0\\\\a(a(a+3)-6)=0\\\\a(a^2+3a-6)=0$

Las soluciones de esa ecuación dan los valores de a para los cuales el sistema no es compatible determinado, uno de ellos es a=0 y por otro lado resolvemos la ecuación cuadrática:

$a=\frac{-3\ñ\sqrt{3^2-4.1(-6)}}{2.1}=\frac{-3\ñ\sqrt{33}}{2}$

Si reemplazamos estos valores en las ecuaciónes vemos que con a=0 el sistema es incompatible. Mientras que con los otros dos valores queda:

$\frac{-3\ñ\sqrt{33}}{2}x+2y=1\\\frac{-3\ñ\sqrt{33}}{2}y+3z=0\\2y+(3+\frac{-3\ñ\sqrt{33}}{2})z=2$

Multiplicando por 2 la segunda y tercera ecuación nos queda:

$-3y\ñ\sqrt{33}y+6z=0\\4y+(3\ñ\sqrt{33})z=4$

$(-3\ñ\sqrt{33})y+6z=0\\4y+(-3\ñ\sqrt{33})z=4\\\\(-3\ñ\sqrt{33})(3\ñ\sqrt{33})y+6(3\ñ\sqrt{33})z=0(3\ñ\sqrt{33})\\4y+(-3\ñ\sqrt{33})z=4\\\\(9-33)y+6(3\ñ\sqrt{33})z=0\\4y+(-3\ñ\sqrt{33})z=4$

Con lo que vemos que si la primera ecuación la divido por 6, queda la segunda igualada a cero, por lo que el sistema es incompatible.