Question

f(x) = x^2/4 - 3/2x -27/4


Hallar el discriminante
Hallar las raíces o puntos de corte de la función
Hallar el dominio
Hallar el rango
Grafique la función

Answer 1

El discriminante de la función es 9, lo que significa que tiene dos raíces reales, estas son x=-3 y x=9, su dominio es el conjunto de todos los reales mientras que su rango es el intervalo $[-9,+\infty)$

Explicación paso a paso:

En una ecuación cuadrática, el discriminante es el término que está bajo una raíz cuadrada en la expresión que permite hallar las raíces, si es positivo la función tiene dos raíces reales, si es cero, la función tiene una raíz doble y si es negativo, no tiene raíces reales, su ecuación es:

$b^2-4ac$

Donde a es el coeficiente del término cuadrático, b el coeficiente del término lineal y c el término independiente. El discriminante de esta ecuación es:

$dis=(-\frac{3}{2})^2-4.\frac{1}{4}(-\frac{27}{4})=\frac{9}{4}+\frac{27}{4}=9$

Lo que indica que la ecuación tiene dos raíces reales. Estas son:

$x_{1,2}=\frac{\frac{3}{2}\ñ\sqrt{9}}{2.\frac{1}{4}}=\frac{\frac{3}{2}\ñ3}{\frac{1}{2}}\\\\x_1=9\\x_2=-3$

La función que nos ocupa al igual que toda función polinómica está definida para todos los reales por ende:

$Dom\{f(x)\}=R$

En cuanto al rango de la función, sabiendo que es una parábola con concavidad hacia arriba (porque su término cuadrático es positivo), tendrá un valor mínimo en su vértice el cual sabemos, tiene su abscisa en el punto medio entre las dos raíces:

$x_v=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-3+9}{2}=3\\\\y_v=\frac{3^2}{4}-\frac{3}{2}.3-\frac{27}{4}=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-\frac{27}{4}=-9$

Con lo que el vértice es (3,-9), y es el extremo de la función, por ende el rango de la misma es:

$Rank\{f(x)\}=[-9,+\infty)$

Siendo el intervalo cerrado en -9 ya que -9 pertenece a la imagen.

Con toda esta información podemos proceder a confeccionar el gráfico de la función, el cual está en la imagen adjunta.