Question

Considere el siguiente problema: se desea construir una caja con tapa abierta, utilizando una pieza cuadrada de cartón de 3 pies de ancho, recortando un cuadrado en cada una de las cuatro esquinas y doblando los costados. Encuentre el volumen más grande que esa caja puede tener.

Answer 1

El volumen más grande que la caja puede tener es:

V(max) = 4.05 pies³

Explicación:

Datos;

cartón cuadrado;

ancho = 3 pies

Determinar los lados de la caja;

largo = 3 - x

ancho = 3 - x

altura = x

El volumen de un caja;

V(x) = (largo)·(ancho)·(alto)

Sustituir;

V(x) = (3 - x)·(3 - x)·(x)

V(x) = (9 - 3x - 3x + x²)(x)

V(x) = 9x -6x²+x³

Máximo volumen;

Aplicar derivada;

V'(x) = d/dx(9x -6x²+x³)

d/dx(9x) = 9

d/dx(-6x²) = -12x

d/dx(x³) = 2x²

Sustituir;

V'(x) = 9 -12x+2x²

Igualar a cero;

2x²-12x+9=0

Aplicar la resolvente;

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

sustituir;

$x_{1}=\frac{12+\sqrt{12^{2}-4(2)(9)}}{2(2)}$

$x_{1}=\frac{12+\sqrt{72}}{4}$

$x_{1}=\frac{12+6\sqrt{2}}{4}$

x₁ = 5.12 pies

$x_{1}=\frac{12-6\sqrt{2}}{4}$

x₂ = 0.87 pies

El valor correcto es x₂ ya que se busca obtener el máximo volumen;

Sustituir x₂ en V;

V(max) = 9x -6(0.87)²+(0.87)³

V(max) = 4.05 pies³