Question

(Geometría) Demuestre que entre todos los rectángulos de
área igual a 100 centímetros cuadrados, el que tiene perímetro más pequeño es el cuadrado de lado igual a 10 centímetros.

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Optimizaci ́on.20E:

Demuestre que de todos los rect ́angulos con un  ́area dada el que tiene el menor per ́ımetro es uncuadrado.

D:Hyx

De la figura.Aes una constante:

A=xyEl per ́ımetro.

Esta es la funci ́on que deseamos optimizar:

P=2x+2yDespejamos y de la “restricci ́on” dada, esto es, de la f ́ormula del  ́area:

y=AxSustituimos en la funci ́on per ́ımetro.

Ahora queda con una sola variable:

P=2x+2AxP′=2−2A1x2=2(x2−Ax2)

P′′=2A2x3>0

Segunda derivada siempre positiva:

P′=0⇒x2−A=0⇒xMin=√AMınimo absoluto

Min=AA12=√A=xMin