Jorge arma un rompecabeza, en los dos primeros días de trabajo colocó 93 piezas y el quinto día 36. Si el número de fichas que acomoda diariamente es una progresión aritmética.cuál es la diferencia de piezas que coloca entre dos días consecutivos?
Respuestas
Para poder hacer esto, debemos saber que una progresión aritmética es de la siguiente fórmula
an = a0 + nd
Donde a0 y d son dos números que define a la progresión. Si sumamos los primeros dos, tenemos que
a0 + a1 = a0 + a0 + d = 2a0 + d
Esta suma es igual a 93, por lo que
2a0 + d = 93
Ahora, en el quinto día (n = 4) se colocaron 36 piezas, por lo que
a4 = a0 + 4d = 36
Y tenemos este sistema de ecuaciones
2a0 + d = 93
a0 + 4d = 36
Si multiplicamos por 2 la segunda ecuación y las restamos, tenemos que
( 2a0 + d ) -2( a0 + 4d ) = 93-2*36
2a0 + d - 2a0 -8d = 21
-7d = 21
d = -3
Y por lo tanto
a0 = 36 -4d = 36-4(-3) = 36+12 = 48
Y así la progresión se puede definir como
an = 48 -3n = 3( 16 - n )
Ahora, la diferencia entre dos elementos de la sucesión es
a(n+1) - an = 3(16-n-1) - 3(16-n) = 3[ 15 - n - 16 + n ] = -3
Que es lo que se quiere
La diferencia de piezas que coloca entre dos días consecutivos es de 3
Explicación paso a paso:
Progresión aritmética: es una sucesión en la que los términos excepto el primero se obtiene sumándole una constante al termino anterior
aₙ = a₁ +( n-1)d
2a₁+d =93
a₁+ 4d =36
Utilizando el método de sustitución:
Despejamos una incógnita en la segunda ecuación y reemplazamos en la primera
a₁ = 36-4d
2(36-4d) +d = 93
72-8d +d = 93
-7d = 93-72
d = -3
La diferencia de piezas que coloca entre dos días consecutivos es de 3
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