Se diseña un cartel rectangular cuya área de impresión es de 50 in2 , con márgenes superior e inferior de 4 in, y márgenes laterales de 2 in cada uno. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que se usará?
Respuestas
Las dimensiones que debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que se usará son: tanto de base horizontal como de longitud vertical.
Explicación paso a paso:
Tenemos una lámina de papel con márgenes superior e inferior 4 in y márgenes izquierdo y derecho de 2 in cada uno.
La función objetivo es el perímetro del papel. Si llamamos h la longitud del lado vertical del área de impresión y x la longitud del lado horizontal del área de impresión; la función objetivo viene dada por:
Perímetro = P = 2(x + 4) + 2(h + 8) in
Lo conveniente es que P esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el área de impresión (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x:
por tanto la función objetivo es
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de P.
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
es un mínimo de la función P.
Sustituimos el valor de x en la ecuación de cálculo de h:
Las dimensiones que debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que se usará son: tanto de base horizontal como de longitud vertical.
Respuesta:
At=(x+4)(y+8) , donde
Ap=x∗y=50⇒y=50/x
Reemplazando y en At
At=(x+4)(50/x+8)
At=50+8x+200/x+32
At=8x+200/x+82
A′t=8−200/x^2
Con A′t=0, se tiene:
A′t=8−200/x^2=0
⇒200/x^2=8
⇒x^2=200/8=25
⇒x=±5
considerando que es una longitud, solo se tomará el valor positivo
x=5
Reemplazando x en Ap, se tiene:
y=50/5=10
Ya sabiendo los valores de x y y, se reemplazan en At:
At=(5+4)(10+8)
At=9∗18=172 pulgas^2
Se aplica criterio de segunda derivada para saber si es un mínimo o un máximo el valor encontrado:
A′′t=400/x^3
Se reemplaza la x en la segunda derivada, si es mayor a 0, es un mínimo:
A′′t=400/5^3=16/5 y como este valor es mayor a cero, el valor encontrado es un mínimo.
Explicación:
Las dimensiones del cartel son 9 * 18, como tiene en los margenes laterales 2'' a cada lado (9-4 = 5) y 4'' en la partes superior e inferior (18-8 = 10), el área impresa es de 5*10 = 50'' cuadradas.