Question

Se diseña un cartel rectangular cuya área de impresión es de 50 in2 , con márgenes superior e inferior de 4 in, y márgenes laterales de 2 in cada uno. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que se usará?

Answer 1

Las dimensiones que debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que se usará son:   $\bold{\sqrt{50}~~in}$    tanto de base horizontal como de longitud vertical.  

Explicación paso a paso:  

Tenemos una lámina de papel con márgenes superior e inferior   4  in y márgenes izquierdo y derecho de   2  in cada uno.

La función objetivo es el perímetro del papel. Si llamamos   h   la longitud del lado vertical del área de impresión y   x   la longitud del lado horizontal del área de impresión; la función objetivo viene dada por:  

Perímetro  =  P  =  2(x  +  4)  +  2(h  +  8)    in

Lo conveniente es que   P   esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el área de impresión (ecuación auxiliar) para despejar   h   en función de   x:  

$A=xh=50\qquad \Rightarrow\qquad h=\frac{50}{x}$  

por tanto la función objetivo es  

$P=2(x+4)+2(\frac{50}{x}+8)=2x+\frac{100}{x}+24$  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de P.  

$P’=2-\frac{100}{x^{2}}$  

$P'=0 \quad \Rightarrow \quad 2-\frac{100}{x^{2}}=0\quad \Rightarrow$  

$\bold{x=\sqrt{50}}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$P''=\frac{200}{x^{3}}$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$P''_{\sqrt{50}}=-\frac{200}{x^{3}} >0\quad \Rightarrow \quad x=\sqrt{50}$ es un mínimo de la función P.  

Sustituimos el valor de   x   en la ecuación de cálculo de  h:  

$\bold{h=\frac{50}{\sqrt{50}}\qquad \Rightarrow\qquad h=\sqrt{50}}$

Las dimensiones que debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que se usará son: $\bold{\sqrt{50}}$ tanto de base horizontal como de longitud vertical.  

Answer 2

Respuesta:

At=(x+4)(y+8) , donde

Ap=x∗y=50⇒y=50/x

Reemplazando y en At

At=(x+4)(50/x+8)

At=50+8x+200/x+32

At=8x+200/x+82

A′t=8−200/x^2

Con A′t=0, se tiene:

A′t=8−200/x^2=0

⇒200/x^2=8

⇒x^2=200/8=25

⇒x=±5

considerando que es una longitud, solo se tomará el valor positivo

x=5

Reemplazando x en Ap, se tiene:

y=50/5=10

Ya sabiendo los valores de x y y, se reemplazan en At:

At=(5+4)(10+8)

At=9∗18=172 pulgas^2

Se aplica criterio de segunda derivada para saber si es un mínimo o un máximo el valor encontrado:

A′′t=400/x^3

Se reemplaza la x en la segunda derivada, si es mayor a 0, es un mínimo:

A′′t=400/5^3=16/5 y como este valor es mayor a cero, el valor encontrado es un mínimo.

Explicación:

Las dimensiones del cartel son 9 * 18, como tiene en los margenes laterales 2'' a cada lado (9-4 = 5) y 4'' en la partes superior e inferior (18-8 = 10), el área impresa es de 5*10 = 50'' cuadradas.