Si x y son números reales distintos de cero y distintos entre sí.¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s), conociendo larelación x^2 + x = y^2 + y?I. x = 2 y y = −3II. x − y es un número imparIII. x^2 y − xy es siempre divisible por 3 2a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) I, II y III
#Exani II
Respuestas
La opción e) es la correcta.
Explicación:
Si x y son números reales distintos de cero y distintos entre sí.
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) verdadera(s), conociendo la relación x² + x = y² + y?
I. x = 2 y y = −3
VERDADERA
La expresión x² + x = y² + y se cumple para todo número n tal que
x = n ∧ y = -(n + 1)
Si n = 2 = x -(n + 1) = -(2 + 1) = -3
II. x − y es un número impar
VERDADERA
Ya que la expresión x² + x = y² + y se cumple para todo número n tal que x = n ∧ y = -(n + 1)
entonces x - y = (n) - [-(n + 1)] = 2n - 1
que es un número impar para todo n real.
III. x² y − xy es siempre divisible por 3 y 2
VERDADERA
La expresión x²y - xy = (x² - x)y garantiza que el número resultante del primer factor es un número par y, por tanto, divisible por 2. La forma prevista para obtener los números x y {x = n ∧ y = -(n + 1)} implica que alguno de los dos factores del producto (x² - x)y es un número divisible por 3.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) I, II y III
La opción e) es la correcta.