Question

Tenemos una partícula que se encuentra oscilando en un movimiento armónico simple en el eje x. La elongación varía con el tiempo con respecto a la siguiente ecuación x = 50 cos(πt + π 6 )
Determine:
a) La amplitud, frecuencia y periodo del movimiento.
b) La velocidad y aceleración de la partícula en cualquier instante t.
c) La posición, la velocidad y aceleración en el instante t = 4 s.
d) La elongación entre t = 0 t = 4s.

Answer 1

Dada la elongación de una partícula.

a) A = 50

    T =  2

    f = 1/2

b) x = 50·cos(π(4) + π/6) m

   v = 50(-√3/2π·sen(πt) - π/2·cos(πt)) m/s

   a = 50(-√3/2π²·cos(πt) + π²/2·sen(πt)) m/s²

c) x = 25√3 m

   v = -1.37 m/s

   a = -7.45 m/s²

d) x = 50 m

   x = 25√3 m

Explicación paso a paso:

Datos;

movimiento armónico simple;

x = 50·cos(πt + π/6)

a) La amplitud, frecuencia y periodo del movimiento.

La ecuación de elongación tiene la siguiente forma;

x = A·cos(ωt+ φ)

Siendo;

A: amplitud

ω = frecuencia angula

ω = 2π/T (T: periodo, T = 1/f, f: frecuencia)

φ = fase

Si, x = 50·cos(πt + π/6)

A = 50

ω = π = 2π/T

Despejar T;

T = 2π/π =

T=  2  =  1/f  

⇒ f = 1/2

b) La velocidad y aceleración de la partícula en cualquier instante t.

Velocidad = x'

x' = d/dt(50·cos(πt + π/6))

Aplicar identidad trigonométrica;

cos(s+t)=cos(s)cos(t) - sen(s)sen(t)

cos(πt + π/6) = cos(πt)cos(π/6) - sen(πt)sen(π/6)

cos(πt + π/6) = √3/2·cos(πt) - 1/2·sen(πt)

Sustituir;

v = 50[d/dt(√3/2·cos(πt) - 1/2·sen(πt))]

v = 50(-√3/2π·sen(πt) - π/2·cos(πt))

Aceleración = v'

v' = d/dt[50(-√3/2π·sen(πt) - π/2·cos(πt))]

a = 50(-√3/2π²·cos(πt) + π²/2·sen(πt))

c) La posición, la velocidad y aceleración en el instante t = 4 s.

Evaluar t = 4 s;

x = 50·cos(π(4) + π/6) = 25√3 m

v = 50(-√3/2π·sen(πt) - π/2·cos(πt)) = -1.37 m/s

a = 50(-√3/2π²·cos(πt) + π²/2·sen(πt)) = -7.45 m/s²

d) La elongación entre t = 0 t = 4s.

Evaluar t = 0;

x = 50 m