Question

Hallando el volumen del solido en revolución que gira alrededor del eje y, dada por la región que resulta de las funciones y=3x 2 ; y=x2 2 es:

Answer 1

El volumen del sólido de revolución propuesto es $\frac{4\pi}{3}$

Explicación:

Un sólido de revolución es la superficie formada al rotar una región del plano euclídeo alrededor de un eje o una recta. Para calcularlo se crea un elemento diferencial de volumen consistente en un cilindro de altura infinitesimal cuyo radio es el la distancia entre el eje de giro y la frontera de la región:

$dV=\pi r^2 dh$

Como vemos tenemos que integrar en una dirección paralela al eje de giro, como este eje es el eje y tenemos que hallar las funciónes x=f(y):

$x=\sqrt{\frac{y}{3}}\\\\x=\sqrt{y}$

Estas serán las distancias entre el eje y y cada punto de las curvas fronteras. Y como la otra curva frontera es y=2 y las dos funciones se intersecan en y=0, integramos entre 0 y 2, nos queda:

$V=\int\limits^2_0 {\pi (\sqrt{y})^2} -\pi (\sqrt{\frac{y}{3}})^2} \, dy \\\\V=\int\limits^2_0 {\pi y -\pi \frac{y}{3}} \, dy =\pi[\int\limits^2_0 {y \, dy-\int\limits^2_0 {\frac{y}{3}} \, dy]\\V=\pi(\int\limits^2_0 {y} \, dy-\frac{1}{3}\int\limits^2_0 {y} \, dy)$

Sacamos la integral como factor común:

$V=\pi(1-\frac{1}{3})\int\limits^2_0 {y} \, dy=\pi \frac{2}{3}\int\limits^2_0 {y} \, dy$

Resolviendo la integral queda:

$V=\pi \frac{2}{3}\int\limits^2_0 {y} \, dy=\pi \frac{2}{3}[\frac{y^2}{2}]^2_0\\\\V=\frac{4\pi}{3}$

En la figura adjunta se ve el volumen calculado como el espacio entre el paraboloide rosa y el paraboloide azul (resultantes de rotar la parábola alrededor del eje y)