Question

- 19.- Si una Hipérbola, una circunferencia de radio 5 y un rectángulo ABCD de lado AB=6 están
ubicados en el plano cartesiano como se muestra en la figura, determine la distancia entre los
vértices de la hiperbola.

Answer 1

Los vértices de esa hipérbola están entre ellos a una distancia de $2\sqrt{10}$

Explicación paso a paso:

En este caso tengamos en cuenta que la ecuación de la hipérbola alineada con el eje horizontal es:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Donde los vértices están en x=a y x=-a y mientras los focos están en (c,0) y (-c,0) tenemos:

$a^2+b^2=c^2$

Con lo que la ecuación de la hipérbola se puede escribir como:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{c^2-a^2}=1$

Como en un punto de la hipérbola coinciden la circunferencia de radio 5 centrada en el origen y el rectángulo de lado AB=6, tenemos que el punto $(\sqrt{5^2-3^2},3)$, es decir (4,3) pertenece a la hipérbola, nos queda:

$\frac{4^2}{a^2}-\frac{3^2}{c^2-a^2}=1\\\\c=5=>\frac{4^2}{a^2}-\frac{3^2}{5^2-a^2}=1\\\\\frac{16(25-a^2)-9a^2}{a^2(25-a^2)}=1\\\\400-16a^2-9a^2=25a^2-a^4\\\\400-50a^2+a^4=0\\\\u=a^2=> 400-50u+u^2=0$

Ahora resolvemos la ecuación cuadrática:

$u=\frac{50\ñ\sqrt{50^2-4.1.400}}{2}\\\\u=a^2=40\\u=a^2=10$

la primera solución no tiene sentido al ubicar los vértices fuera del segmento que une los focos, nos quedamos con la segunda y recordando que los vértices están en (-a,0) y (a,0), estos están en $(-\sqrt{10},0)~y~(\sqrt{10},0)$, entonces viendo el gráfico, la distancia que separa a los vértices es:

$d=\sqrt{10}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$