Un fabricante de atún dispone de latón para fabricar las latas cilíndricas, si el volumen estándar es de 100 ml, ¿cuál debe ser el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima? con esquema CDR
Respuestas
El radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es de 126,16 mm y de 2mm respectivamente
Explicación paso a paso:
V = 100ml(1000 mm³/1 ml) = 100.000 mm³
1 mililitro = 1000 milímetros cúbicos
Volumen de cilindro:
V = π*r²*h
100.000 = πr²*h
h = 100.000/π·r²
El área del cilindro;
A = 2πr² + 2πrh
Reemplazamos el valor de h
A = 2πr² + 2πr(100.000/π·r²)
A = 2πr² +200.000πr/πr²
A = 2πr² + 200.000/r
Derivamos e igualamos a cero para obtener la cantidad de latón que sea minimiza
A' = [2π·r²+ 200.000]/r
A' = 4πr-200.000/r²
4πr -200.000/r² = 0
200.000/r² = 4πr
r³ = 200.000/4π
r = ∛(200.000/4π)
r = 126,16 mm
Sustituir en h;
h = 100000/πr²
h = 100.000/ π(126.16)²
h = 2 mm
El radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es de 126,16 mm y de 2mm respectivamente