Question

una persona desea cortar un pedazo de alambre de 1m de largo en dos trozos, uno de ellos se va a doblar en forma de circulo y el otro en forma de cuadrado. ¿como debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas sea mínima?

Answer 1

El alambre debe cortarse en dos porciones:

Una porción (que formará un círculo) de longitud  =  $2\pi r=2 \pi \frac{1}{6}=\frac{\pi}{3} \quad m$

Una porción (que formará un cuadrado) de longitud  =  $4h=4(\frac{1}{4}-\frac{\pi}{12})=1-\frac{\pi}{3} \quad m$

Explicación:

La función objetivo es la suma de las áreas de las figuras que se generan con los dos trozos de alambre. Si llamamos  h  la altura de la porción cuadrada y  r  el radio de la porción circular; la función objetivo viene dada por:

$A=h^{2}+\pi r^{2}$

Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el perímetro conocido (ecuación auxiliar) para despejar  h  en función de  r:

$P=2\pi r+4h=1$

de aqui  

$h=\frac{1}{4}-\frac{\pi r}{2}$

por tanto la función objetivo es

$A=[\frac{1}{4}-\frac{\pi r}{2}]^{2}+\pi r^{2}=\frac{1}{16}-\frac{\pi r}{4}+\frac{3\pi r^{2}}{4}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.  

$A'=-\frac{\pi}{4} +\frac{3 \pi r}{2}$

A' = 0      ⇒

$-\frac{\pi}{4} +\frac{3 \pi r}{2}=0$       ⇒           $r=\frac{1}{6}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$A''=\frac{3 \pi}{2}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$A''_{\frac{1}{6}}>0$       ⇒        

$r=\frac{1}{6}$         es un mínimo de la función A.  

Luego,

$h=\frac{1}{4}-\frac{\pi}{12}$

El alambre debe cortarse en dos porciones:

Una porción (que formará un círculo) de longitud  =  $2\pi r=2 \pi \frac{1}{6}=\frac{\pi}{3} \quad m$

Una porción (que formará un cuadrado) de longitud  =  $4h=4(\frac{1}{4}-\frac{\pi}{12})=1-\frac{\pi}{3} \quad m$