Question

se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un circulo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ah de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del circulo y del cuadrado sea mínima.


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Answer 1

Sea L el lado del cuadrado y r el radio del círculo.

El perímetro de los dos: P = 4 L + 2 π r = 1 m

El área de los dos: S = L² + π r²

Despejamos L de la primera y la reemplazamos en la segunda

L = 1/4 (1 - 2 π r)

S = [1/4 (1 - 2 π r)]² + π r²; quitamos paréntesis u reducimos términos.

S = π/4 (π + 4) r² - π r/4 + 1/16

Una función es mínima en los puntos de primera derivada nula y segunda positiva.

S' =  π/2 (π + 4) r - π/4

S'' = π/2 (π + 4(, positiva. Hay mínimo en S' = 0

π/2 (π + 4) r - π/4 = 0

r = 1 / [2 (π + 4)] ≅ 0,07 m = 7 cm

L = 1/4 (1 - 2 π . 0,07) ≅ 0,14 m = 14 cm

La superficie mínima es:

S = 14² + π . 7² ≅ 350 cm²

Adjunto dibujo S función del radio en centímetros cuadrados.

Mateo

Answer 2

El alambre se tiene que cortar en un trozo de 0,44 metros para formar el círculo y en otro trozo de 0,56 metros para formar el cuadrado.

Explicación paso a paso:

Tenemos que plantear la suma de las áreas del círculo y del cuadrado, llamando A al trozo que corresponde al círculo y B al trozo que corresponde al cuadrado.

$f=\frac{\pi.D^2}{4}+l^2\\\\D=\frac{A}{\pi}; l=\frac{B}{4}\\\\f=\frac{\pi.\frac{A^2}{\pi^2}}{4}+\frac{B^2}{16}\\\\f=\frac{A^2}{4\pi}+\frac{B^2}{16}$

Ahora hacemos otro cambio tomando en cuenta que es B=1-A:

$f=\frac{A^2}{4\pi}+\frac{(1-A)^2}{16}$

Ahora tenemos que derivar la ecuación e igualarla a cero para hallar el valor de A donde la suma de las áreas es mínima:

$\frac{2A}{4\pi}-\frac{2(1-A)}{16}=0\\\\\frac{A}{4\pi}-\frac{(1-A)}{16}=0\\\\16A=4\pi(1-A)\\\\16A=4\pi-4\pi.A\\\\A=\frac{4\pi}{16+4\pi}\\\\A=0,44m$

Esta es la longitud del trozo que se corta para hacer el círculo, ahora la longitud del trozo que se corta para el cuadrado es:

$B=1-0,44m=0,56m$