Question

los focos de una elipse son F(0,4) y F(o,-4). si la longitud del eje mayor es de 12, determina la ecuacion de la elipse y graficala

Answer 1

La ecuación de la elipse podría ser :

$\frac{ {x}^{2} }{ {a}^{2} } + \frac{ {y}^{2} }{ {b}^{2} } = 1$

Debemos encontrar a, b y c

El problema nos dice la longitud del eje mayor es de 12, osea la longitud del eje mayor es la distancia que hay de un vértice al otro o lo que es lo mismo :

2a=12

Despejando a tenemos que :

$a = 6$

Ya tenemos el valor de a, también el problemas nos dice los focos F(0,4) y F (0,-4). No hay que ser magos para darse cuenta que la elipse habré hacia el eje X ya que comparte EJE con los vértices entonces tenemos que :

$c = 4$

Ahora tenemos que encontrar b que lo haremos con la formula :

${a}^{2} = {b}^{2} + {c}^{2} \\ despejando \: \: \: \\ b = \sqrt{ {a}^{2} - {c}^{2} }$

Es decir :

$b = \sqrt{36 - 16} \\ b = 2 \sqrt{5}$

Ya con esos datos podemos formar nuestra educación de la elipse, como ya sabemos que habré hacia el eje X utilizaremos la ecuación que mostré al inicio teniendo que :

${a}^{2} = 36 \\ {b}^{2} = 20$

Entonces :

$\frac{ {x}^{2} }{36} + \frac{ {y}^{2} }{20} = 1$

Espero que le sea de ayuda.

Answer 2

La ecuación de la elipse cuyos focos son  F(0, 4) y F(0, -4)  y la longitud del eje mayor es de 12, es      $\bold{20y^2~+~36x^2~=~720}$.

Explicación paso a paso:

De la información aportada sabemos que el eje focal está en posición vertical, por lo que la ecuación canónica de la elipse viene dada por:

$\bold{\dfrac{(y~-~k)^2}{a^2}~+~\dfrac{(x~-~h)^2}{b^2}~=~1}$

donde

(h, k)  =  centro de la elipse

a  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje mayor

b  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje menor

La longitud del eje mayor es de  12, lo que implica que    a  =  6

La distancia entre los focos es de  8,  lo que implica que    c  =  4.

También se sabe que el punto medio del segmento de recta que une los focos es el punto centro de la elipse, en este caso    (h, k)  =  (0, 0)

Luego, para completar la información de la ecuación, calculamos la distancia  b  por la relación:

a²  =  b²  +  c²     ⇒    b²  =  a²  -  c²  =  (6)²  -  (4)²  =  20

Sustituyendo en la ecuación canónica

$\bold{\dfrac{(y~-~0)^2}{36}~+~\dfrac{(x~-~0)^2}{20}~=~1\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\dfrac{y^2}{36}~+~\dfrac{x^2}{20}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad20y^2~+~36x^2~=~720}$

La ecuación de la elipse cuyos focos son  F(0, 4) y F(0, -4)  y la longitud del eje mayor es de 12, es      $\bold{20y^2~+~36x^2~=~720}$.

La gráfica está anexa

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