1. Encontrar la ecuación diferencial del modelo matemático.
2. Hallar el modelo matemático del sistema mediando la ecuación de la función de transferencia.
3. A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo.
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Respuestas
Este sistema tiene una transferencia de posición respecto de la fuerza de y es estable y sobreamortiguado.
Explicación:
Para encarar este diseño se empieza aplicando la segunda ley de Newton teniendo en cuenta que por un lado sobre el bloque actúan la fuerza viscosa y la fuerza de Hooke del resorte, además de la fuerza externa:
1)
Siendo esta la ecuación diferencial del sistema.
2) De esta ecuación se puede hallar la transformada de Laplace aprovechando la propiedad de la transformada de la derivada quedando:
Pero teniendo en cuenta que:
Queda:
Con lo que el modelo eléctrico es el de la imagen adjunta donde la fuerza se representa como una fuente de corriente, la resistencia representa al amortiguador, la capacitancia a la masa y la inductancia al resorte.
Si despejamos la velocidad que es nuestra variable de salida tenemos:
Siendo esta la función transferencia del sistema en el dominio frecuencial.
3) El sistema será inestable si los polos están sobre el eje jw o a la derecha de este, reemplazando valores tenemos:
Pero si recordamos que podemos hallar la transferencia en función de la posición:
Podemos descomponerla en fracciones simples y hacer la transformada inversa para obtener la respuesta al impulso, pero con la transferencia obtenida sabemos que tiene dos polos reales distintos, con lo cual el sistema es sobreamortiguado y es estable.
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