Question

1. Encontrar la ecuación diferencial del modelo matemático.
2. Hallar el modelo matemático del sistema mediando la ecuación de la función de transferencia.
3. A partir de la ecuación característica del sistema, determinar la estabilidad del mismo.

Answer 1

Este sistema tiene una transferencia de posición respecto de la fuerza de $H(S)=\frac{1/2}{(S+1)(S+2)}$ y es estable y sobreamortiguado.

Explicación:

Para encarar este diseño se empieza aplicando la segunda ley de Newton teniendo en cuenta que por un lado sobre el bloque actúan la fuerza viscosa y la fuerza de Hooke del resorte, además de la fuerza externa:

1) $F-kx-bv=ma\\\\kx+b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^2x}{dt^2}$

Siendo esta la ecuación diferencial del sistema.

2) De esta ecuación se puede hallar la transformada de Laplace aprovechando la propiedad de la transformada de la derivada quedando:

$F(S)-kX(S)-SbX(S)=S^2MX(S)\\\\F(S)=kX(S)+SbX(S)+S^2MX(S)$

Pero teniendo en cuenta que:

$V(S)=SX(S)$

Queda:

$F(S)=k\frac{V(S)}{S}+bV(S)+SMV(S)$

Con lo que el modelo eléctrico es el de la imagen adjunta donde la fuerza se representa como una fuente de corriente, la resistencia representa al amortiguador, la capacitancia a la masa y la inductancia al resorte.

Si despejamos la velocidad que es nuestra variable de salida tenemos:

$H(S)=\frac{V(S)}{F(S)}=\frac{S}{S^2M+bS+k}=\frac{1}{M}\frac{S}{S^2+\frac{b}{M}S+\frac{k}{M}}$

Siendo esta la función transferencia del sistema en el dominio frecuencial.

3) El sistema será inestable si los polos están sobre el eje jw o a la derecha de este, reemplazando valores tenemos:

$M=2kg\\b=6\frac{Ns}{m}\\k=4\frac{N}{m}\\\\H(S)=\frac{1}{2}\frac{S}{S^2+\frac{6}{2}S+\frac{4}{2}}=\frac{1}{2}\frac{S}{S^2+3S+2}\\\\S_p=\frac{-3\ñ\sqrt{3^2-4.1.2}}{2.1}=\frac{-3\ñ1}{2}\\\\S_p1=-1; S_p2=-2$

Pero si recordamos que $X(S)=\frac{V(S)}{S}$ podemos hallar la transferencia en función de la posición:

$H(S)=\frac{X(S)}{F(S)}=\frac{1/2}{S^2+3S+2}=\frac{1/2}{(S+1)(S+2)}$

Podemos descomponerla en fracciones simples y hacer la transformada inversa para obtener la respuesta al impulso, pero con la transferencia obtenida sabemos que tiene dos polos reales distintos, con lo cual el sistema es sobreamortiguado y es estable.