Question

Se está vaciando arena sobre un montón de forma canónica a razón de 30 m3 /min, la altura del cono es siempre igual al radio de la base. ¿Con qué rapidez aumenta su altura cuando el montón tiene 3 metros de altura?

Answer 1

La rapidez con que aumenta la altura es de 0.707m/min

Se pide calcular dh/dt cuando el radio r sea igual a 3m

Consideramos la fórmula para calcular el volumen de un cono

V = ¹/₃ π r² h

como h = r, entonces

V = ¹/₃ π h³

Despejamos h³

h³ = 3v/π

Sacamos la derivada con respecto al tiempo

$3h^{2}\frac{dh}{dt}=\frac{3}{\pi }\frac{dv}{dt}$

$\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\pi h^{2} }\frac{dv}{dt}$

Sustituimos los valores

h = 3m

$\frac{dv}{dt} = 20 m^{3}/min$

$\frac{dh}{dt} = \frac{20}{\pi 3^{2} }= 0.707 m/min$