Question

Un fabricante de atún dispone de latón para fabricar las latas cilíndricas, si el volumen estándar es de 100 ml, ¿cuál debe ser el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima?

Answer 1

El radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es de  5,42 ml y 10,89 ml respectivamente

Explicación paso a paso:

Optimizacion:

El volumen de un cilindro es

V=π(r²)h

r: es el radio

h: la altura

100 = π(r²)h

h = 100 / [π(r²)]

El área es la lateral más la de las dos bases:

Área = 2πrh + 2πr²

A= 2πr(r+h)

Sustituimos la primera ecuación en la segunda, ya que es la función objetivo

A=  2πr[r+ (100 / [π(r²)] )

A= 2πr([π(r³)+100] / [π(r²)])

A = 2([π(r³)+100] / r)

A = 2π(r²) + 200/r

Para calcular el área mínima vamos a derivar, igualar a cero y calcular las raíces.

A' = 4πr - 200/(r²) = 0

πr - 500/(r²) = 0

πr³ - 500 = 0

r = (500/π)^(1/3) = (159,15494)^(1/3)

r= 5,42 ml

h = 100 / [π(r²)]

h=10,89 ml