Question

URGENTE!! ¿Alguien que me pueda ayudar con estos problemas?

1. Aplicación de las derivadas en la física.

A) Se tiene que la función posición de un vehículo está definida por: f(x)=x^3+2x^2+15, determina la función velocidad y aceleración.

2. Aplicación de las derivadas en optimización.

A) Se tiene la función utilidad en la producción de botellas de agua U(x)=-3x^2+15x-18 donde “x” representa la cantidad de botellas en miles, determina ¿cuál es la producción máxima de botellas? y ¿cuál es la utilidad obtenida?

Answer 1

Respuesta:

1.

función velocidad:

$f'(x)=3x^2+4x+15$

función aceleración:

$f''(x)=3x+4$

2.

¿cuál es la producción máxima de botellas? 2500

y ¿cuál es la utilidad obtenida? 0.75 (faltaría saber en que unidades esta)

Explicación paso a paso:

Hola!

Para el problema 1.

En física, la derivada de la posición con respecto al tiempo es igual a la velocidad, mientras que la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración, entonces para dar solución hay que derivar dos veces.

Función:

$f(x)=x^3+2x^2+15$

1ra derivada= función velocidad:

$f'(x)=3x^2+4x^1+15\\f'(x)=3x^2+4x+15$

2da derivada = función aceleración:

$f''(x)=3x+4$

Problema 2.

Para este caso, primero debemos de encontrar para que valor de x, la primera derivada se vuelve 0

Función

$U(x)=-3x^2+15x-18$

1ra derivada

$U'(x)=-6x+15$

1ra derivada igual a 0:

$-6x+15=0\\-6x=-15\\x= 15/6= 5/2= 2.5$

Criterio para saber si nos encontramos con un máximo local o un mínimo local:

Para conocer si el resultado que obtendremos es un máximo o mínimo tendremos que derivar nuevamente:

2da derivada:

$U'(x)=-6$

y sustituimos el valor de x, aunque en este caso no hay forma de sustituirla, simplemente queda -6

Ahora bien:

Máximo local si:

f''(a)<0

Mínimo local si

f''(a)>0

En nuestro caso, efectivamente será un máximo.

Finalmente sustituimos el valor de x en la función original:

$U(2.5)=-3(2.5)^2+15(2.5)-18\\U(2.5)=-18.75+37.5-18\\U(2.5)=0.75$

La producción máxima de botellas es el valor de x (recuerda que esta en miles, 2.5*1000), y la utilidad es el valor de esta última ecuación. (lo puedes comprobar en la imagen adjunta)