Question

Dos resistencias desconocidas si se asocia en paralelo conectadas a 110 Volt tiene la misma potencia que cuando estan asociadas en serie conectada a 220 volt. ¿ Cual es la relacion de las resistencias?

Answer 1

Para que dos resistencias conectadas en paralelo a 110V tengan la misma potencia que estando conectadas en serie a 220V, estas deben ser iguales.

Explicación:

Para encarar este caso vamos a recordar la fórmula que relaciona la potencia de un elemento disipativo con la tensión entre sus terminales y su resistencia:

$P=\frac{V^2}{R}$

En todo circuito, la suma de las potencias parciales de cada elemento es la potencia total, como en un circuito paralelo la tensión en cada elemento es la misma tenemos:

$P=\frac{V_1^2}{R_1}+\frac{V_1^2}{R_2}$

En un circuito serie las resistencias se suman para hallar la resistencia equivalente, luego la potencia total es:

$P=\frac{V_2^2}{R_1+R_2}$

Ahora igualamos las expresiones:

$\frac{V_1^2}{R_1}+\frac{V_1^2}{R_2}=\frac{V_2^2}{R_1+R_2}\\\\{V_1^2}(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})=\frac{V_2^2}{R_1+R_2}\\\\{V_1^2}(\frac{R_2+R_1}{R_1R_2})=\frac{V_2^2}{R_1+R_2}\\\\{V_1^2}\frac{(R_2+R_1)^2}{R_1R_2}=V_2^2$

SI desarrollamos el cuadrado del binomio queda:

${V_1^2}\frac{R_2^2+2R_2R_1+R_1^2}{R_1R_2}=V_2^2\\\\\frac{R_2^2}{R_2R_1}+2+\frac{R_1^2}{R_2R_1}=\frac{V_2^2}{V_1^2}\\\\\frac{R_2}{R_1}+2+\frac{R_1}{R_2}=\frac{V_2^2}{V_1^2}=\frac{(220V)^2}{(110V)^2}=4$

Podemos hacer un cambio de variable:

$a=\frac{R_2}{R_1}$

Y queda:

$a+2+\frac{1}{a}=4\\\\a+\frac{1}{a}=2\\\\a^2+1=2a=>a^2-2a+1$

Ahora resolvemos la ecuación cuadrática:

$a=\frac{2\ñ\sqrt{2^2-4.1.1}}{2}=1$

Y queda que las resistencias deben ser iguales.