Question

desde un avión que se encuentra a 4500m de altura se observan dos autos corriendo en la misma dirección y sentido con un angulo de depresión de 60° y 37° .determina la distancia en que se encuentran los dos autos .

con procedimiento porfavor.

Answer 1

Respuesta:

8598,15 m

Explicación paso a paso:

piden la distancia entre los dos autos

en la figura

d = a + b

--

calculamos a

tan 60 = 4500/a

despejamos a

a = 4500 m/tan60

a = 4500 m/√3/1

a = 4500 m/√3

a = 4500 m/1,732

a = 2598,15 m

---

calculamos b

tan 37 = 4500/b

despejamos b

b = 4500 m/tan37

b = 4500 m/3/4

b = 4.(4500 m)/3

b = 6000 m

--

como d = a + b

reemplazamos

d = 2598,15 m + 6000 m

d = 8598,15 m

la distancia es 8598,15 m

Answer 2

La distancia a la que se encuentran los dos autos es de 3401.92 metros    

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Siendo los triángulos de 30-60 y de 37-53 notables

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el avión, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde la posición del avión- hasta el auto más lejano, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamamos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en en el avión- hasta un auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 37°

El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el avión, el lado CB que es la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde el punto donde se encuentra el avión- hasta el auto más cercano, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamamos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en el avión- hasta el otro auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 60°

Donde se pide determinar la distancia a la que se encuentran los dos autos

Siendo la distancia "x" la longitud hasta el auto más lejano desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el avión

E "y" la distancia hasta el auto más cercano desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el avión

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre los dos autos restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 37° y de 60° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura a la que se encuentra el avión- y conocemos los ángulos de depresión de 37° y de 60° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas dimensiones mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ACD

Hallamos x - distancia hasta el auto más lejano

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 37^o}$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura\ avion }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{altura\ avion }{ tan(37^o) } } }$

$\large \textsf{El valor de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{4500 \ m }{ \frac{3 }{4} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 4500 \ m \ . \ \frac{4}{3 } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ x = \frac{18000}{ 3 } \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 6000 \ metros } }$

La distancia x- hasta el auto más lejano- es de 6000 metros

En BCD

Hallamos y - distancia hasta el auto más cercano

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β $\bold{\beta =60^o }$

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ altura\ avion }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{altura\ avion }{ tan(60^o) } } }$

$\large \textsf{El valor de tan de 60 grados es } \bold {\sqrt{3} }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{4500 \ m }{ \sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{4500 \ m }{ \sqrt{3} } \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ y = \frac{4500 \sqrt{3} }{( \sqrt{3})^{2} } \ m \ } }$    

$\boxed{\bold { distancia\ y = \frac{4500 \sqrt{3} }{3 } \ m \ } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 1500\sqrt{3} \ metros } }$

La distancia y- hasta el auto más cercano- es de 1500√3 metros

Hallamos la distancia entre los dos autos

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Autos = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Autos= 6000 \ m -\ 1500\sqrt{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Autos= 3401.92 \ metros } }$

La distancia a la que se encuentran los dos autos es de 3401.92 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto