Question

Encuentre dos números impares consecutivos, tales que el cuadrado del menor disminuido 6 veces el mayor nos da 123

Answer 1

Respuesta:

Un número impar es un número par (múltiplo de dos) menos uno:

$impar = 2n - 1$

Donde ''n'' es cualquier número entero.

Ya que los impares se encuentran cada dos números, el impar consecutivo mayor será:

$(2n - 1) + 2$

$2n + 1$

El menor es (2n-1), nos dicen que su cuadrado menos seis por el mayor (2n+1) es 123:

$(2n - 1) {}^{2} - 6(2n + 1) = 123$

Tenemos un binomio al cuadrado (en el cual un término es negativo), el cual se desarrolla así:

$(a - b) {}^{2} = a {}^{2} - 2ab + b {}^{2}$

Desarrollamos (2n-1) al cuadrado como en el modelo anterior:

$(2n) {}^{2} - 2(2n)(1) + (1) {}^{2}$

$4n {}^{2} - 4n + 1$

Sustituimos la expresión anterior por (2n-1) al cuadrado en la ecuación original:

$(4n {}^{2} - 4n + 1) - 6(2n + 1) = 123$

$4n {}^{2} - 4n + 1 - 12n - 6 = 123$

Simplificamos terminos semejantes:

$4n {}^{2} - 16n - 5 = 123$

Despejamos el segundo miembro de la ecuación:

$4n {}^{2} - 16n - 5 - 123 = 0$

Simplificamos terminos semejantes:

$4n {}^{2} - 16n - 128 = 0$

Factorizamos:

$4(n {}^{2} - 4n - 32) = 0$

$n {}^{2} - 4n - 32 = \frac{0}{4}$

$n {}^{2} - 4n - 32 = 0$

Resolvemos la ecuacion cuadrática mediante la fórmula general:

$n = \frac{ - ( - 4) + - \sqrt{( - 4) {}^{2} - 4(1)( - 32)} }{2(1)}$

$n = \frac{4 + - \sqrt{16 + 128} }{2}$

$n = \frac{4 + - \sqrt{144} }{2}$

$n = \frac{4 + - 12}{2}$

Factorizamos:

$n = \frac{2(2 + - 6)}{2}$

Eliminamos factores iguales en el numerador y en el denominador:

$n = 2 + - \: 6$

Hay dos soluciones para ''n'', pero en realidad solo necesitamos una; en este caso tomaré la positiva:

$n = 2 + 6$

$n = 8$

Recordemos que los dos números que queríamos encontrar son (2n-1) y (2n+1):

$2n - 1$

Sustituimos ''n'' por 8:

$2(8) - 1$

$16 - 1$

$15$

El número mayor es:

$2n + 1$

Sustituimos ''n'' por 8:

$2(8) + 1$

$16 + 1$

$17$

R/ Los números impares consecutivos que cumplen las condiciones del problema son 15 y 17.

Comprobemos:

Si la solución es correcta, el cuadrado del menor (15) menos seis por el mayor (17) es 123:

$15 {}^{2} - 6(17) = 123$

$225 - 102 = 123$

$123 = 123$

La solución es correcta.