Question

19.) Un anillo de hierro cuyos radios miden 0.6m y 0.5m tiene una masa de 18 kg. Rueda sobre un plano
W inado, llegando a la base con una velocidad de 3.6 m/s. ¿calcular la energia cinetica total y la altuia
vertical de la cual cae?
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Answer 1

El anillo llega a la base del plano inclinado con una energía cinética de 215J, para tener dicha cantidad de energía cayó desde una altura de 1,22 metros.

Explicación:

Cuando el anillo de hierro llega a la base del plano inclinado, toda su energía es cinética y la misma se reparte entre energía traslacional y energía rotacional:

$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Iw^2$

Donde v es la velocidad del centro de masas y w su velocidad angular. I es el momento de inercia, que equivale a:

$I=\int\limits^{}_M {r^2} \, dm$

Si consideramos al anillo de espesor muy pequeño y uniforme podemos considerar una densidad superficial:

$I=\rho\int\limits^{}_S {r^2} \, dS$

Donde el elemento diferencial de área pueden ser anillos infinitesimales de ancho dr:

$dS=2\pi rdr\\\\I=\rho\int\limits^{R_o}_{R_i} {r^2} \, 2\pi r dr=2\pi\rho[\frac{r^4}{4}]^{R_o}_{R_i}\\\\I=2\pi\frac{M}{A}[\frac{r^4}{4}]^{R_o}_{R_i}=2\pi\frac{M}{\pi(R_o^2-R_i^2)}[\frac{r^4}{4}]^{R_o}_{R_i}\\\\I=\frac{1}{2}M\frac{R_o^4-R_i^4}{R_o^2-R_i^2}$

Reemplazando queda:

$E=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{2}\frac{1}{2}M\frac{R_o^4-R_i^4}{R_o^2-R_i^2}w^2$

Como $w=\frac{v}{R_o}$ queda:

$E=\frac{1}{2}Mv^2+\frac{1}{4}M\frac{R_o^4-R_i^4}{R_o^2-R_i^2}\frac{v^2}{R_o^2}$

En esta expresión reemplazando valores queda.

$E=\frac{1}{2}.18kg.(3,6\frac{m}{s})^2+\frac{1}{4}.18kg\frac{(0,6m)^4-(0,5m)^4}{(0,6m)^2-(0,5m)^2}\frac{(3,6\frac{m}{s})^2}{(0,6m)^2}\\\\E=215J$

En el punto más alto del plano inclinado toda la energía del anillo es potencial por lo que queda:

$E=mgh_{max}\\\\h_{max}=\frac{E}{mg}=\frac{215J}{18kg.9,8\frac{m}{s^2}}=1,22m$