Cuánto debe valer a para que el coeficiente de x^8 en la multiplicación de
2x^8+ 5x^7-3x^6 + 7x^5 – 9x^4 + 5x^2 – 3x + 1 y x^5 + 3x^4 – 7x^3 + ax^2 – 2x + 1 sea -96. Si
a se redujera a la mitad del valor encontrado, ¿cuál sería el coeficiente de x
8?
Respuestas
a debe valer 4 para que el coeficiente de x⁸ sea -96. Si a se reduce a la mitad del valor encontrado; es decir, a vale 2, el coeficiente de x⁸ será -90.
Explicación:
El coeficiente de x⁸ en la multiplicación:
(2x⁸+ 5x⁷-3x⁶ + 7x⁵ – 9x⁴ + 5x² – 3x + 1) (x⁵ + 3x⁴ – 7x³ + ax² – 2x + 1)
se obtiene al sumar todos los coeficientes de los términos que resultan del producto de términos cuyas potencias de x sumen 8.
Esta suma de términos debe tener un coeficiente igual a -96. Por lo tanto podemos construir una ecuación lineal cuya incógnita es el valor de a:
(2x⁸)(1) + (5x⁷)(–2x) + (-3x⁶)(ax²) + (7x⁵)(–7x³) + (-9x⁴)(3x⁴) = -96x⁸ ⇒
2x⁸ - 10x⁸ - 3ax⁸ - 49x⁸ - 27x⁸ = -96x⁸ ⇒
2 - 10 - 3a - 49 - 27 = -96 ⇒ -3a - 84 = -96 ⇒
-3a = -12 ⇒ a = 4
a debe valer 4 para que el coeficiente de x⁸ sea -96.
Para responder al planteamiento: Si a se redujera a la mitad del valor encontrado, ¿cuál sería el coeficiente de x⁸?
Vamos a sustituir a = 2 (la mitad del valor encontrado) en el producto que nos permite obtener el término grado 8:
(2x⁸)(1) + (5x⁷)(–2x) + (-3x⁶)(2x²) + (7x⁵)(–7x³) + (-9x⁴)(3x⁴) =
2x⁸ - 10x⁸ - 6x⁸ - 49x⁸ - 27x⁸ = -90x⁸
Si a se reduce a la mitad del valor encontrado; es decir, a = 2, el coeficiente de x⁸ será -90.