Question

Ejercicio 4 Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.

a). Dada la siguiente matriz:

1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán

2. Calcular el rango por el método de determinantes

3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.


Agradezco su ayuda

Answer 1

El rango de la matriz por:  

1. Método de Gauss Jordan.  

Rango(A) = 3  

2. Método de determinantes.  

Rango(A) = 3

3. Es un sistema linealmente dependiente o independiente.  

Al aplicar el método de Gauss Jordan se puede ver que ninguna fila o columna es nula por lo tanto es linealmente independiente los elementos de la matriz.  

Explicación:  

Dada;  

$A=\left[\begin{array}{ccccc}-1&2&3&0&7\\2&3&-2&3&0\\4&1&1&0&-3\end{array}\right]$

1. Se reducirá la matriz aplicando el método de Gauss Jordan, llevarla a la identidad y el rango sera el número de filas diferentes de cero.  

$=\left[\begin{array}{ccccc}-1&2&3&0&7\\2&3&-2&3&0\\4&1&1&0&-3\end{array}\right]$

-f₁

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-3&0&-7\\2&3&-2&3&0\\4&1&1&0&-3\end{array}\right]$

f₂-2f₁

f₃-4f₁

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-3&0&-7\\0&7&4&3&14\\0&9&13&0&25\end{array}\right]$

1/7f₂

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-3&0&-7\\0&1&4/7&3/7&2\\0&9&13&0&25\end{array}\right]$

f₃-9f₂

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&-2&-3&0&-7\\0&1&4/7&3/7&2\\0&0&55/7&-27/7&7\end{array}\right]$

Rango(A) =  3

2. Se debe tener una matriz cuadrada para aplicar determinante. Si el determinante de las sub matices de orden 3 es diferente de cero su rango es 3 o mayor.  

$\left[\begin{array}{ccc}-1&2&3\\2&3&-2\\7&1&1\end{array}\right]$

det = (-1)[(3)(1)-(1)(-2)]-2[(2)(1)-(4)(-2)]+3[(2)(1)-(4)(3)]

det = -5 -20-30

det = -55

El determinante es distintos de cero por lo tanto;  

Rango(A) = 3