Question

Un fabricante de atún dispone de latón para fabricar las latas cilíndricas, si el volumen estándar es de 100ml ¿Cual debe se el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima ?

Answer 1

Respuesta:

r = 2,5 ml

a = 199 ml

Explicación paso a paso:

El procedimiento a llevar para saber el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es:

Volumen de cilindro, fórmula:

V = π • r² • h

Recuerda que, el valor de π es de 3.14.

100 = π • r² • h

Despejamos h.

h = 100 / π • r²

El área del cilindro.

At = 2π • r² + 2π • r • h

Sustituimos nuevamente h.

At = 2π • r² + 2π • r • (100/π • r²)

2 • 100 = 200

At = 2π • r² +200π • r/π • r²

At = 2π • r² + 200/r

At¹= d/dr((2π • r²+ 200)/r)

d/dr(2πr²) = 4π • r

d/dr(200/r) = — 200/r²

Sustituimos.

At' =  4π • r — 200/r²

Hacemos una operación nula.

4π • r — 200/r² = 0

Despejamos, ahora, r.

200/r² = 4π • r

r³ = 200/4π

Aplicamos raíz cúbica.

r = ∛(200/4π)

Calculamos el cociente.

200 ÷ 4 = 50

Calculamos: ³√50π

r = 2.5 ml

Sustituir nuevamente h.

h = 100/π • r²

h = 100/ π • (2.5)²

h = 199 ml

Answer 2

Para usar la mínima cantidad de latón posible la lata tiene que medir 2,5 centímetros de radio y 5,09 centímetros de altura

Explicación paso a paso:

Hay que minimizar el área superficial de la lata de atún, para lo cual hay que recordar primero las ecuaciones de volumen y de área superficial del cilindro circular:

$V=\pi r^2h\\\\A=2\pi r^2 +2\pi rh=2\pi r(r+h)$

Tenemos que minimizar la segunda expresión, podemos poner la altura en función del radio:

$h=\frac{V}{\pi r^2}$

Y la función área queda:

$A(r)=2\pi r(r+\frac{V}{\pi r^2})=2\pi r(\frac{\pi r^3+V}{\pi r^2})=2\frac{\pi r^3+V}{r}$

Ahora para cumplir la condición de mínimo las derivadas de la función deben ser:

$f'(r_0)=0\\f''(r_0)>0$

Las derivadas de la función usando la regla de cociente son:

$A'(r)=2\frac{r(3\pi r^2)-(\pi r^3+V)}{r^2}=2\frac{3\pi r^3-\pi r^3-V}{r^2}=2\frac{2\pi r^3-V}{r^2}\\\\A''(r)=2\frac{6\pi r^2.r^2-2r(2\pi r^3-V)}{r^4}=2\frac{6\pi r^4-2\pi r^4+2rV}{r^4}=2\frac{4\pi r^4+2rV}{r^4}$

La derivada segunda, al ser una suma de dos magnitudes que serán siempre positivas pues están en función del volumen y el radio, por ende el extremo que hallemos será un mínimo.

Para anular la derivada basta con anular el numerador:

$V=100ml=1x10^{-4}m^3\\\\2\pi r^3-V=0\\\\r^3=\frac{V}{2\pi}\\\\r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}= \sqrt[3]{\frac{1x10^{-4}m^3}{2\pi}}=0,025m=2,5cm$

La altura de la lata la obtenemos de la expresión del volumen:

$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{1x10^{-4}}{\pi (0,025m)^2}=0,0509m=5,09cm$