Question

1. En la industria minera, el transporte del mineral del interior de la mina al exterior se puede dar de varias formas, por ejemplo, a través de contenedores como muestra el esquema de la Figura 1, en la que se aprecia el sistema contenedor-mineral, cuerdas, polea y motor utilizados para dicho transporte. El sistema contenedor-mineral tiene una masa combinada de 900 kg y es trasladado sobre un plano inclinado rugoso, de 300 m de longitud, con un coeficiente de fricción cinético μ = 0,150 y un ángulo de inclinación de θ = 30,0° respecto de la horizontal.
a. Realice el DCL del contenedor-mineral.
b. El contenedor parte del reposo y la aceleración es 0,05 m/s2 durante 30 segundos, calcule la tensión que ejerce el motor mientras acelera y la velocidad final.
c. Después de los 30 segundos se mueve con velocidad constante, calcula la tensión en la cuerda en estas condiciones.
d. Analice y determine en cuánto tiempo (tiempo de ascenso) logrará recorrer el plano inclinado el sistema contenedor mineral.
e. Argumente cuál será la cantidad de mineral que se extrae en 2,00 horas de trabajo. Considere que la masa del contenedor es de 300 kg y el tiempo de retorno (tiempo de descenso más el tiempo de descarga) es 40% del tiempo de ascenso.

Answer 1

Realice el DCL del contenedor-mineral.  Ver grafica anexa.

La tensión que ejerce el motor mientras acelera es igual a T = 5611.68 N y la velocidad final es igual a Vf = 1.5 m/s

Después de los 30 segundos se mueve con velocidad constante, la tensión en la cuerda en estas condiciones es T = 5566.68 N

El tiempo (tiempo de ascenso) logrará recorrer el plano inclinado el sistema contenedor mineral es igual a ts = 215s

La cantidad de mineral que se extrae en 2,00 horas de trabajo es Tm = 7200Kg = 7.2tm

Definimos un sistema cartesiano de referencia cuyo eje "X" sea paralelo al plano inclinado por donde se desplaza el sistema contenedor-mineral.

Aplicamos la Segunda Ley de Newton sobre el sistema contenedor-mineral en el momento que es halado con aceleración constante:

• ∑Fy = 0
• N - P*cos(30°) = 0
• N = 900Kg * 9.81m/s² * 0.87
• N = 7681.23 N

• ∑Fx = m * ax
• T - Fr - P*sen(30°) = m * ax
• T - μ * N - 900Kg * 9.81m/s² * 0.5 = 900Kg * 0.05m/s²
• T - 0.150*7681.23N - 4414.50 = 45.0N
• T = 5611.68 N

Se calcula la velocidad final a los 30s usando la siguiente ecuación de MRUV:

• Vf = Vo + a*t
• Vf = 0 + 0.05m/s² * 30s
• Vf = 1.5 m/s

Despues de los 30s  el sistema contenedor-mineral sube a velocidad constante, entonces volvemos a aplicar la Segunda Ley de Newton:

• ∑Fx = 0
• T - Fr - P*sen(30°) = 0
• T - μ * N - 900Kg * 9.81m/s² * 0.5
• T - 0.150*7681.23N - 4414.50
• T = 5566.68 N

Se calcula la distancia recorrida por el sistema contenedor-mineral mientras se mueve con aceleracion constante MRUV:

• d = Vo*t + (1/2) * a * t²
• d = 0 + 0.5 * 0.05m/s² * (30s)²
• d = 22.5m

Con este valor de la distancia recorrida con el sistema acelerado calculamos la distancia recorrida por el sistema con velocidad constante "dc":

• dc = 300m- 22.5m
• dc = 277.5m

Con este valor se calcula el tiempo en recorrer esta distancia con un MRU:

• V =d/t
• t = d /V
• t = 277.5m / 1.5m/s
• t = 185s

Entonces el tiempo total subiendo "ts" se calcula  con el tiempo acelerado ta=30s mas el tiempo a velocidad constante:

• ts = ta + tc
• ts = 30s + 185s
• ts = 215s

Como el tiempo de retorno: "tr"  es el cuarenta por ciento del tiempo de subida:

• tr = 0.4 * ts
• tr = 0.4 * 215s
• tr = 86s

Entonces el Tiempo Total "tT"   de cada descarga es la suma del tiempo subiendo mas el tiempo de retorno:

• tT = ts + tr
• tT = 215s + 86s
• tT = 301s

Con este valor calculamos el numero de descargas  "Nd" realizados en 2h

• Nd = 2h * (3600s/h) / 301s
• Nd = 23.92

Este valor nos dice que se han realizado 24 descargas de mineral  y como en cada descarga se transladan desde el interior de la mina hacia el exterior de la misma 300Kg de mineral, en 2 horas horas se habran descargado un total de mineral "Tm":

• Tm = 24 *300Kg
• Tm = 7200Kg = 7.2tm