Question

1. Determine si el conjunto S genera a R^3:
S={(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)}

Answer 1

El conjunto S={(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)}, genera a R³.

Explicación paso a paso:

1. S ={(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)}

Para que el conjunto S genere el espacio r³, debe ser vectores linealmente independientes, los cuales se pueden expresar como una combinación lineal.  

α₁(1,0,1)+α₂(1,1,0)+α₃(0,1,1) = (0,0,0)  

α₁ + α₂         = 0  

      α₂ +  α₃ = 0  

α₁         +  α₃ = 0  

El determinante formado por la matiz de coeficientes del sistema, si este dar distinto de cero el sistema el linealmente independiente.  

$det\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{array}\right]$  

= [(1)(1)-(0)(1)]-[(0)(1)-(1)(1)]+[(0)(0)-(1)(1)]  

= 1+1+1

= 3

Combinación lineal:

α₁(1,0,1)+α₂(1,1,0)+α₃(0,1,1) = (x,y,z)  

α₁ + α₂ = x  

α₂ + α₃ = y  

α₁  + α₃ = z  

El sistema es linealmente independiente y se puede expresar como una combinación lineal, por lo tanto  genera R³.