Question

y'-9xy=0 Ecuaciones Diferenciales por series de potencia.

Answer 1

La solución de la ecuación diferencial es:

$y=e^{\frac{9}{2}x^2+C}$

Explicación paso a paso:

El método de resolución de ecuaciones diferenciales por series de potencias consiste en proponer como solución un polinomio de la forma:

$y(x)=\Sigma_{i=0}^na_ix^i$

Reemplazando esta expresión en la ecuación queda:

$y'(x)=\Sigma_{i=1}^nia_ix^{i-1}\\\\\Sigma_{i=1}^nia_ix^{i-1}-9x\Sigma_{i=0}^na_ix^i=0$

$Sigma_{i=0}^nia_ix^{i-1}-9\Sigma_{i=0}^na_ix^{i+1}=0$

Homogeneizamos las potencias:

$\Sigma_{i=1}^nia_ix^{i-1}-9\Sigma_{i=0}^na_ix^{i+1}=0\\\\l=i+1\\m=i-1\\\\\Sigma_{m=0}^n(m+1)a_{m+1}x^{m}-9\Sigma_{l=1}^na_{l-1}x^{l}=0$

Ponemos todo en función de k y homogeneizamos el orden de las series:

$\Sigma_{k=0}^n(k+1)a_{k+1}x^{k}-9\Sigma_{k=1}^na_{k-1}x^{k}=0\\\\a_1+\Sigma_{k=1}^n(k+1)a_{k+1}x^{k}-9\Sigma_{k=1}^na_{k-1}x^{k}=0\\\\a_1+\Sigma_{k=1}^n[(k+1)a_{k+1}x^{k}-9a_{k-1}x^{k}]=0$

Ahora comparamos los coeficientes, todos tienen que dar cero para que la igualdad se cumpla:

$a_1+\Sigma_{k=1}^n[(k+1)a_{k+1}x^{k}-9a_{k-1}x^{k}]=0\\k=0=> a_1=0\\k=1=> 2a_2x-9a_0x=0=> a_2=\frac{9}{2}a_0=>a_{2n}=\frac{9}{n+1}a_{2n-2}=\frac{9^n}{2.4.6....n}a_0\\k=2=> 3a_3x^2-9a_1x^2=0=> a_3=0=>a_{2n+1}=0|n\epsilon N$

Lo que da que la función es par. La solución en forma de serie queda:

$y=\Sigma_{i=0}^n(9)^i\frac{a_0}{i!}x^{2i}=\Sigma_{i=0}^n(9x)^i\frac{a_0}{i!}x^{i}$

De donde queda, según el Teorema de Taylor:

$(9x)^ia_0=f^{(i)}, i\epsilon N$

Una función cuyas derivadas son de este tipo es:

$f(x)=e^{g(x)}\\f'(x)=g'(x)e^{g(x)}\\...\\f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)e^{g(x)}$

Donde queda:

$9xe^{g(x)}=f'(x)\\9x=g'(x)=> g(x)=\frac{9}{2}x^2+C$

Entonces la solución queda:

$y=e^{\frac{9}{2}x^2+C}$