Question

buen dia, me pueden ayudar con estos ejercicios:
y'-9xy=0 por series de potencia.
L{sinh⁡2t } Transformada de Laplace
y^''-y^'+y=cos (t);y(0)=1,y'(0)=0 con transformada de Laplace.
gracias

Answer 1

1) La resolución de ecuaciones diferenciales por series de potencias consiste en proponer como solución un polinomio de tipo:

$y(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i$

Y reemplazarlo en la ecuación planteada, su derivada es:

$y'=\sum_{i=1}^{\infty}ia_ix^{i-1}$

Así que la ecuación queda así:

$\sum_{i=1}^{\infty}ia_ix^{i-1}-9x\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i=0$

Si metemos el 9x en la sumatoria queda:

$\sum_{i=1}^{\infty}ia_ix^{i-1}-\sum_{i=0}^{\infty}9a_ix^{i+1}=0$

Ahora para juntar las sumatorias en una sola hay que equiparar los límites de cada una usando una propiedad de las sumatorias por la cual:

$\sum_{i=k}^{\infty}f(i)=\sum_{i=0}^{\infty}f(i+k)$

Y la ecuación queda:

$\sum_{i=0}^{\infty}(i+1)a_{i+1}x^{i}-\sum_{i=0}^{\infty}9a_ix^{i+1}=0$

Ahora hay que equiparar el orden de x en las sumatorias, para lo cual extraigo el primer término de la primera:

$a_1+\sum_{i=1}^{\infty}(i+1)a_{i+1}x^{i}-\sum_{i=0}^{\infty}9a_ix^{i+1}=0\\\\a_1+\sum_{i=0}^{\infty}(i+2)a_{i+2}x^{i+1}-\sum_{i=0}^{\infty}9a_ix^{i+1}=0$

Junto las dos sumatorias en una y queda:

$a_1+\sum_{i=0}^{\infty}[(i+2)a_{i+2}-9a_i]x^{i+1}=0$

En ella tengo que para cumplir la igualdad, el polinomio tiene que valer cero en todos sus coeficientes, queda:

$i=0=>a_1+(2a_2-9a_0)x=0=> a_1=0; a_2=\frac{9}{2}a_0$

Entonces el resto de los coeficientes queda:

$(i+2)a_{i+2}-9a_i=0\\\\a_{i+2}=\frac{9}{i+2}a_i=\frac{9^n}{i!}a_0$

Esto da una solución donde los términos de subíndice impar son cero y los de subíndice par son:

$y(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_ix^i=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{9^{2i}}{2i!}a_0x^{2i}$

Lo que a través del teorema de Taylor permite identificar una solución de tipo:

$y=e^{\frac{9}{2}x^2+C}, C\epsilon R$

2) Para hallar la transformada de Laplace reemplazamos la función propuesta en la ecuación:

$F(S)=\int\limits^\infty_0 {f(t)e^{-St}} \, dt$

La integral queda:

$F(S)=\int\limits^\infty_0 {sinh(2t)e^{-St}} \, dt=\int\limits^\infty_0 {\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}e^{-St}} \, dt$

La que podemos partir en dos términos:

$F(S)=\frac{1}{2}[\int\limits^\infty_0 {e^{2t}e^{-St}} \, dt-\int\limits^\infty_0 {e^{-2t}e^{-St}} \, dt]=\frac{1}{2}[\int\limits^\infty_0 {e^{-t(S-2)}} \, dt-\int\limits^\infty_0 {e^{-t(S+2)}} \, dt]$

En ella podemos hacer un cambio de variables:

$u=(S-2)t=>du=(S-2)dt\\v=(S+2)t=>du=(S+2)dt$

Y queda:

$F(S)=\frac{1}{2}[\frac{1}{S-2}\int\limits^\infty_0 {e^{-u}} \, du-\frac{1}{S+2}\int\limits^\infty_0 {e^{-v}} \, dt]\\\\\int\limits^\infty_0 {e^{-x}} \, dx=1=>F(S)=\frac{1}{2}[\frac{1}{S-2}-\frac{1}{S+2}]\\\\F(S)=\frac{1}{2}\frac{S+2-(S-2)}{(S+2)(S-2)}=\frac{4}{2(S^2-4)}=\frac{2}{S^2-4}$

Con lo que la transformada de Laplace queda:

$F(S)=\frac{2}{S^2-4}$

3) Por un lado la transformada de Laplace del Coseno es:

$cos(t)=\frac{S}{S^2+w^2}=\frac{S}{(S+jw)(S-jw)}$

Y la transformada de la derivada es:

$L\{y'(t)\}=SY(S)-y(0)\\\\L\{y''(t)\}=S^2Y(S)-Sy(0)-y'(0)$

Por lo que la ecuación queda:

$S^2Y(S)-Sy(0)-y'(0) -(SY(S)-y(0))+Y(S)=\frac{S}{S^2+1}\\\\S^2Y(S)-S -(SY(S)-1)+Y(S)=\frac{S}{S^2+1}\\\\S^2Y(S)-S -SY(S)+1+Y(S)=\frac{S}{S^2+1}\\\\S^2Y(S)-SY(S)+Y(S)=\frac{S}{S^2+1}+S-1$

Despejando Y(S) queda:

$Y(S)(S^2-S+1)=\frac{S}{S^2+1}+S-1\\\\Y(S)=\frac{S}{(S^2+1)(S^2-S+1)}+\frac{S-1}{S^2-S+1}$

Sacando fracciones simples en el primer término queda:

$Y(S)=\frac{S}{(S^2+1)(S^2-S+1)}+\frac{S-1}{S^2-S+1}\\\\Y(S)=\frac{1}{S^2-S+1}-\frac{1}{S^2+1}+\frac{S}{S^2-S+1}-\frac{1}{S^2-S+1}\\\\Y(S)=-\frac{1}{S^2+1}+\frac{S}{S^2-S+1}$

Ahora descompongo el segundo miembro en fracciones ismples:

$Y(S)=-\frac{1}{S^2+1}+\frac{S}{(S-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})(S-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})}\\\\Y(S)=-\frac{1}{S^2+1}+S(\frac{j\frac{1}{\sqrt{3}}}{S-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{j\frac{1}{\sqrt{3}}}{S-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Si pasamos todo al dominio temporal y recordamos la propiedad de la derivada para la transformación queda:

$Y(S)=-\frac{1}{S^2+1}+S(\frac{j\frac{1}{\sqrt{3}}}{S-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}}-\frac{j\frac{1}{\sqrt{3}}}{S-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}})\\\\y(t)=-sen(t)+\{j\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-(\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2})t}-j\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-(\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2})t}\}'\\\\y(t)=-sen(t)+\{-\frac{2}{\sqrt{3}}e^{-\frac{1}{2}t}.sen(\frac{\sqrt{3}}{2}t)\}'$

$y(t)=-sen(t)-\{-\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-\frac{1}{2}t}\.sen(\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{2}{\sqrt{3}}e^{-\frac{1}{2}t}.cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)\}$

Y la función queda:

$y(t)=-sen(t)+\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-\frac{1}{2}t}\.sen(\frac{\sqrt{3}}{2}t)-e^{-\frac{1}{2}t}cos(\frac{\sqrt{3}}{2}t)$