Question

Un electroscopio se fabrica con dos alambres de 70 cm de largo y con bolas de 28 g en los extremos. Cuando se carga, los alambre forman un ángulo de 30° (c/u) con la vertical. ¿Qué carga total se debe haber aplicado?

Answer 1

Para que en este electroscopio los alambres formen cada uno por su parte un ángulo de 30° con la vertical las esferas tienen que estar cargadas con 2,94 μC

Desarrollo:

En el electroscopio, para que los alambres formen con la vertical un ángulo de 30°, la tensión en el mismo tiene que formar un ángulo con la vertical de 30°.

Como la tensión en el alambre compensa al peso y a la fuerza eléctrica, la resultante de estas fuerzas en cada esfera tiene que formar un ángulo de 30° con la vertical. Siento estas fuerzas perpendiculares entre sí (la eléctrica horizontal hacia afuera y el peso vertical hacia abajo), tenemos:

$tan(30\°)=\frac{F}{P}=\frac{F}{mg}=> F=mg.tan(30\°)$

La fuerza eléctrica la obtenemos de la ley de Coulomb:

$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}$

Como las cargas en las esferas se consideran iguales queda:

$F=k\frac{Q^2}{r^2}$

Siendo d la longitud de los alambres, la distancia entre las esferas cuando los alambres formen un ángulo con la vertical de 30° será:

$r=2d.sen(30\°)\\\\F=k\frac{Q^2}{4d^2sen^2(30\°)}$

Ahora reemplazamos en esta expresión la que obtuvimos para la fuerza eléctrica en función del peso:

$mg.tan(30\°)=k\frac{Q^2}{4d^2sen^2(30\°)}$

Despejamos la carga y queda:

$mg.tan(30\°)=k\frac{Q^2}{4d^2sen^2(30\°)}\\\\mg.tan(30\°).4d^2sen^2(30\°)=kQ^2\\\\Q=\sqrt{\frac{mg.tan(30\°).4d^2sen^2(30\°)}{k}}=2d.sen(30\°)\sqrt{\frac{mg.tan(30\°)}{k}}$

Y reemplazamos valores:

$d=0,7m\\m=0,028kg\\g=9,8\frac{m}{s^2}\\k=9x10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}\\\\Q=2.0,7.sen(30\°)\sqrt{\frac{0,028.9,8.tan(30\°)}{9x10^{9}}}=2,94x10^{-6}C$