Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido durante los primeros 12 minutos. Se sabe que la temperatura inicial es de 6 grados Celsius. Al hacer el análisis resultó que el valor de la temperatura, en grados Celsius, depende del tiempo transcurrido desde que se inició el experimento (en minutos), tal como lo muestra el siguiente gráfico: a) Defina el dominio contextualizado de la función. b) Determine la expresión algebraica de la forma T(x) = ax2 bx c de la función cuadrática que mejor se ajusta al gráfico.
Respuestas
El dominio de la función T(x) es: x ∈ [0; +∞) y la expresión de la función cuadrática es: T(x) = y = x² - 11x + 18
Explicación paso a paso:
a) Determina el dominio contextualizado de la función.
El dominio es el conjunto de valores posibles como realización de la variable independiente, en este caso la variable tiempo.
La variable tiempo, denotada por x, es una variable continua y positiva o nula; por tanto el dominio de la función T(x) es:
x ∈ [0; +∞)
b) Determine la expresión algebraica de la forma T(x) = ax² + bx + c de la función cuadrática que mejor se ajusta al gráfico
Aplicaremos la ecuación canónica:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
(h, k) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
Dado que se conoce que la parábola pasa por los puntos: (0, 18), (2, 0) y (9, 0); sustituimos cada uno de ellos en la ecuación canónica y se tiene un sistema de ecuaciones del que podemos hallar las coordenadas del vértice y el valor de la distancia p:
(0, 18): (0 - h)² = 4p(18 - k)
(2, 0): (2 - h)² = 4p(0 - k)
(9, 0): (9 - h)² = 4p(0 - k)
Aplicaremos los métodos de igualación, sustitución y reducción
Dado que las dos últimas ecuaciones son iguales a -4pk podemos igualar los productos notables de la izquierda
(2 - h)² = (9 - h)² ⇒ -4h + h² = 81 -18h + h² ⇒ h = ¹¹/₂
Sustituyendo este valor en las tres ecuaciones
(-¹¹/₂)² = 72p - 4pk
(-⁷/₂)² = -4pk
(⁷/₂)² = -4pk
Se multiplica por -2 la tercera ecuación y se suman todas, obteniendo
18 = 72p ⇒ p = ¼
De cualquiera de las tres ecuaciones, se obtiene k = -⁴⁹/₄
Se sustituyen los valores de h, k, p en la ecuación canónica y se resuelven los productos:
(x - ¹¹/₂)² = 4(¹/₄)(y + ⁴⁹/₄) ⇒ x² - 11x + ¹²¹/₄ = y + ⁴⁹/₄ ⇒
T(x) = y = x² - 11x + 18