para f(x)=1-3x+9x^2-5x^3 hallar
a) Puntos críticos,
b) Intervalos dónde la función es creciente o decreciente,
c) Máximos y mínimos,
d) Análisis de concavidad,
e) Coordenadas de punto (s) de inflexión
Respuestas
Tenemos que x = 0.2 es un mínimo y x = 1 es un máximo, (3/5,1.36) es un punto de inflexión
Puntos criticos: son los candidatos a minímos y maximos se encuentran cuando la primera derivada es 0:
Derivamos la función e igualamos a cero:
f(x) = -5x³ +9x² - 3x + 1
f'(x) = -15*x² + 18x - 3 = 0
⇒ -5x² + 6x - 1 = 0
x1 = 1
x2 = 0.2
Intervalos dónde la función es creciente o decreciente: una función es creciente si su primera derivada es positiva y decreciente donde su primera derivada es negativa y donde la derivada se anula es constante:
-15*x² + 18x - 3 ≥ 0
⇒ 5x² + 6x - 1 ≥ 0
⇒ (x - 1)*(x-0.2) ≥ 0
Veamos el signo
-∞ 0.2 1 ∞
(x - 1) - - +
(x - 0.2) - + +
(x-1)*(x-0.2) + - +
Es creciente en: (-∞,0.2) U (1,∞)
Decreciente en: (0.2,1)
Por criterio de la segunda derivada: si al evaluar el punto critico en la segunda derivada es positiva, entonces es un minímo si es negativa es un maximo.
f''(x) = 2*-15*x + 18 = -30x* + 18
f''(1) = -30 + 18 = -12< 0 es un máximo
f''(0.2) = -30*0.2 + 18 = 24 > 0 es un mínimo
Concavidad. Una función es cóncava hacia abajo donde su segunda derivada es negativa y cóncava hacia arriba donde la segunda derivada es positiva:
f''(x) = -30x* + 18 ≥ 0 ⇒ 30x ≤ 18 ⇒ x ≤ 18/30 = 3/5
Es cóncava hacia arriba en: (-∞,3/5)
Cóncava hacia abajo: (3/5,∞)
Para los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero: luego calculamos la tercera y si evaluada en el punto es distinta de cero tenemos un punto de inflexión
f''(x) = -30x + 18 = 0 entonces x = -18/-30 = 3/5
f'''(x) = -30 Entonces x = 3/5 es un punto de inflexión.
f(3/5) = -5*(3/5)³ + 9*(3/5)² -3*(3/5) + 1 = 1.36
El punto de inflexión es: (3/5,1.36)