Question

dada f′(x)=x−5/7(x+4), encuentre donde la función f(x) es creciente y decreciente:

Answer 1

La función f'(x) es creciente en los intervalos $(-\infty,-4)V(5,+\infty)$ y decreciente en (-4,5).

Explicación:

Para identificar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función alcanza con analizar su derivada, la función es creciente donde:

$f'(x)>0$

Y la función es decreciente cuando la derivada es negativa:

$f'(x)<0$

Observando la función, esta tiene una raíz en x=5, siendo positiva para x>5 y negativa para x<5. Pero en x=-4 posee un salto infinito. Por lo que hay que hallar los límites en ese punto:

$\lim_{x \to -4^-} \frac{x-5}{7(x+4)} =+\infty\\\\ \lim_{x \to -4^+} \frac{x-5}{7(x+4)} =-\infty$

Esto debido a que para valores menores a 5 si bien el numerador es negativo, para x<-4 el numerador también es negativo haciendo positiva la derivada. Como no hay más ceros ni saltos para x<-4 la derivada es positiva para todo valor de x menor que -4 y entonces la función es creciente, luego la función f(x) es:

• Creciente para x>5 y para x<-4
• Decreciente para -4<x<5.