Question

Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de xy''+2y'=xy con y (1)=1 y en y '(1)=0. paso a paso con lo siguiente a.mirar la imagen

Answer 1

La solución para la ecuación diferencial mediante el teorema de Taylor es:

$y=1+\frac{2/3}{2!}x^2+\frac{4/5}{4!}x^4+...+\frac{n/(n+1)}{n!}x^{n}$

Explicación paso a paso:

Como vamos a aplicar el teorema de Taylor para resolver la ecuación diferencial y nos dan las condiciones iniciales en x=1 vamos a suponer que la solución se representa como una serie de tipo:

$y=\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_i}{i!}x^i</p><p>Las <strong>derivadas de este polinomio</strong> son:</p><p>[tex]y'=\Sigma_{i=1}^\infty\frac{ia_i}{i!}x^{i-1}=\Sigma_{i=1}^\infty\frac{a_i}{(i-1)!}x^{i-1}\\\\y''=\Sigma_{i=2}^\infty\frac{i(i-1)a_i}{i!}x^{i-2}=\Sigma_{i=2}^\infty\frac{a_i}{(i-2)!}x^{i-2}$

La ecuación propuesta queda:

$xy''+2y'=xy\\\\x\Sigma_{i=2}^\infty\frac{a_i}{(i-2)!}x^{i-2}+2\Sigma_{i=1}^\infty\frac{a_i}{(i-1)!}x^{i-1}=x\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_i}{i!}x^i\\\\\Sigma_{i=2}^\infty\frac{a_i}{(i-2)!}x^{i-1}+2\Sigma_{i=1}^\infty\frac{a_i}{(i-1)!}x^{i-1}=\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_i}{i!}x^{i+1}$

Ahora balanceamos las potencias de las sumatorias usando una propiedad de las sumatorias:

$x\Sigma_{i=k}^\infty f(i)=x\Sigma_{i=0}^\infty f(i+k)$

Y queda:

$\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_{i+2}}{(i)!}x^{i+1}+2\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_{i+1}}{(i)!}x^{i}=\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_i}{i!}x^{i+1}\\\\\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_{i+2}}{(i)!}x^{i+1}+2a_1+2\Sigma_{i=1}^\infty\frac{a_{i+1}}{(i)!}x^{i}=\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_i}{i!}x^{i+1}\\\\\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_{i+2}}{(i)!}x^{i+1}+2a_1+2\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_{i+2}}{(i+1)!}x^{i+1}=\Sigma_{i=0}^\infty\frac{a_i}{i!}x^{i+1}$

Y también podemos juntar todas las sumatorias en una sola ya que todas quedaron con los mismos límites:

$\Sigma_{i=0}^\infty[\frac{a_{i+2}}{(i)!}+\frac{a_{i+2}}{(i+1)!}-\frac{a_i}{i!}]x^{i+1}+2a_1=0$

Ahora para que la igualdad se cumpla tiene que ser:

$a_1=0\\\\\frac{a_{i+2}}{(i)!}+\frac{a_{i+2}}{(i+1)!}-\frac{a_i}{i!}=0\\\\\frac{a_i}{i!}=a_{i+2}\frac{(i+1)!+i!}{i!(i+1)!}\\\\a_{i+2}=a_i\frac{(i+1)!}{i!+(i+1)!}=a_i\frac{i.i!}{i!+i.i!}=a_i\frac{i}{1+i}$

Como el término a1 es cero, los términos de subíndice impar serán cero, los de subíndice par son:

$a_0=1\\a_2=a_0\frac{2}{1+2}=\frac{2}{3}\\\\a_4=a_0\frac{4}{1+4}=\frac{4}{5}$

Con lo que la serie queda:

$y=1+\frac{2/3}{2!}x^2+\frac{4/5}{4!}x^4+...+\frac{n/(n+1)}{n!}x^{n}$

Por lo pronto no es posible identificar a partir de esta serie una función que le pertenezca.