Question

Queremos construir una ventana cuyo centro sea un rectángulo y la parte superior e inferior de la ventana sean semicírculos. Si tenemos 50 metros de material de encuadre, ¿cuáles son las dimensiones de la ventana que dejarán entrar la mayor cantidad de luz? URGENTE POR FAVOR​

Answer 1

La mayor cantidad de luz ingresa si la superficie total es máxima.

Veamos las ecuaciones:

La superficie es S = 2 r h + π r² (rectángulo más dos semicírculos)

El perímetro es P = 2 (2 r + h) + 2 π r = 50

O bien 2 r + h + π r = 25; despejamos h y lo reemplazamos en S

h = 25 - 2 r - π r = 25 - r (π + 2)

S = 2 r [25 - r (π + 2)] + π r²; reducimos términos semejantes:

S = 50 r - (π + 4) r²

Una función es máxima en los puntos de primera derivada nula y segunda negativa en esos puntos.

Derivamos respecto de r:

S' = 50 - 2 (π + 4) r

S'' = - 2 (π + 4); negativa, hay máximo en S' = 0

50 - 2 (π + 4) r = 0

r = 25 / (π + 4)

Los valores críticos son:

r ≅ 3,5 m

h ≅ 7 cm

S ≅ 87,5 cm²

Se adjunta un dibujo de la función S con su punto máximo.

Mateo