Question

Desde un avión que se encuentra a 4500 m de altura se observan dos autos corriendo en la misma dirección y sentido con un ángulo de depresión de 62° y 35°.Determina la distancia en que se encuentran los dos autos.
Con procedimiento por favor

Answer 1

La distancia a la que se encuentran los dos autos es de 4074 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el avión, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde la posición del avión- hasta el auto más lejano, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en en el avión- hasta un auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 35°

El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura a la que se encuentra el avión, el lado CB que es la distancia desde cierto punto -ubicado en C- sobre el plano del suelo, -medido perpendicularmente desde el punto donde se encuentra el avión- hasta el auto más cercano, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en el avión- hasta el otro auto, el cual es visto con un ángulo de depresión de 62°

Donde se pide determinar la distancia a la que se encuentran los dos autos

Siendo la distancia "x" la longitud hasta el auto más lejano desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el avión

E "y" la distancia hasta el auto más cercano desde cierto punto en tierra medido verticalmente hasta donde se encuentra el avión

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos a que distancia se encuentran los dos autos restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 35° y de 62° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura a la que se encuentra el avión- y conocemos los ángulos de depresión de 35° y de 62° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas dimensiones mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión

En ACD:

Hallamos la distancia "x" -distancia hasta el auto más lejano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =35^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(35^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(35^o) = \frac{ altura\ avion }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ avion }{ tan(35^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 4500 \ m \ }{ tan(35^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 4500 \ m \ }{ 0.70020753821} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 6426.666 \ metros } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 6426.70 \ metros } }$

Por tanto la distancia x - hasta el auto más lejano- es de 6426.70 metros

En BCD:

Hallamos la distancia "y" -distancia hasta el auto más cercano-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 62^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(62^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(62^o) = \frac{ altura\ avion }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ avion }{ tan(62^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 4500 \ m \ }{ tan(62^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 4500 \ m \ }{ 1.880726465346} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 2392.69 \ metros } }$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 2392.70 \ metros } }$

Luego la distancia y - hasta el auto más cercano- es de 2392.70 metros

Hallamos a que distancia se encuentran los dos autos

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Autos = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Autos= 6426.70 \ m -\ 2392.70 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Autos= 4034 \ metros } }$

La distancia a la que se encuentran los dos autos es de 4034 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto