Question

Sean u,v y w vectores en r3 . Demuestre que

u*(vxw)=(uxv)*w

Answer 1

Aplicando propiedades matemáticas se demuestra:

u·(v×w) = (u×v) ·w

Explicación paso a paso:

Sean u y w en R³, y k un número escalar.

u·(v×w) = (u×v) ·w

u·(v×w)

= (u₁ u₂ u₃)·[(v₁ v₂ v₃)× (w₁ w₂ w₃) ]

Aplicar producto vectorial;

= (u₁ u₂ u₃)·(v₂w₃ - v₃w₂ ; v₁w₃ - v₃w₁ ; v₁w₂ - v₂w₁)

Aplicar producto escalar;

= [u₁ (v₂w₃ - v₃w₂) + u₂(v₁w₃ - v₃w₁) + u₃(v₁w₂ - v₂w₁)]

=  u₁v₂w₃ - u₁v₃w₂ + u₂v₁w₃ -u₂v₃w₁ + u₃v₁w₂ - u₃v₂w₁

(u×v) ·w    

= [(u₁ u₂ u₃)×(v₁ v₂ v₃)] ·(w₁ w₂ w₃)

Aplicar producto vectorial;

= (u₂v₃ - u₃v₂ ; u₁v₃ - u₃v₁ ; u₁v₂ - u₂v₁)·(w₁ w₂ w₃)

Aplicar producto escalar;

= [(u₂v₃ - u₃v₂)w₁ + (u₁v₃ - u₃v₁) w₂ + (u₁v₂ - u₂v₁)w₃]

= u₂v₃w₁  - u₃v₂w₁ + u₁v₃w₂ - u₃v₁w₂ + u₁v₂w₃ - u₂v₁w₃

Se demuestra que son iguales;

Answer 2

u.(vxw) = (uxv).w

Recordamos que uxw y uxv indican productos vectoriales

y que u.(vxw) y (uxv).w indican productos escalares con respecto a los productos vectoriales.

Acá vamos a demostrar que se cumple que:

u·(v×w) = (u×v) ·w

Sean u y w dos vectores en R³, definimos sus componentes:

u = (u₁ u₂ u₃)

v = (v₁ v₂ v₃)

w = (w₁ w₂ w₃)

Desarrollamos:

u·(v×w)

= (u₁ u₂ u₃)·[(v₁ v₂ v₃)× (w₁ w₂ w₃) ]

Resolvemos primero el producto vectorial:

= (u₁ u₂ u₃)·(v₂w₃ - v₃w₂ ; v₃w₁ - v₁w₃ ; v₁w₂ - v₂w₁)

Ahora aplicamos el producto escalar:

= [u₁ (v₂w₃ - v₃w₂) + u₂(v₃w₁ - v₁w₃) + u₃(v₁w₂ - v₂w₁)]

=  u₁v₂w₃ - u₁v₃w₂ + u₂v₃w₁  - u₂v₁w₃ + u₃v₁w₂ - u₃v₂w₁

(u×v) ·w  

= [(u₁ u₂ u₃)×(v₁ v₂ v₃)] ·(w₁ w₂ w₃)

Primero resolvemos el producto vectorial:

= (u₂v₃ - u₃v₂ ; u₃v₁ - u₁v₃ ; u₁v₂ - u₂v₁)·(w₁ w₂ w₃)

Ahora resolvemos el producto escalar:

= [(u₂v₃ - u₃v₂)w₁ + (u₃v₁ - u₁v₃) w₂ + (u₁v₂ - u₂v₁)w₃]

= u₂v₃w₁  - u₃v₂w₁ + u₃v₁w₂ - u₁v₃w₂ + u₁v₂w₃ - u₂v₁w₃

Observemos que:

u·(v×w) = u₁v₂w₃ - u₁v₃w₂ + u₂v₃w₁  - u₂v₁w₃ + u₃v₁w₂ - u₃v₂w₁

(u×v)·w = u₂v₃w₁  - u₃v₂w₁ + u₃v₁w₂ - u₁v₃w₂ + u₁v₂w₃ - u₂v₁w₃

Ordenamos:

(u×v)·w = u₂v₃w₁  - u₃v₂w₁ + u₃v₁w₂ - u₁v₃w₂ + u₁v₂w₃ - u₂v₁w₃

u·(v×w) = u₂v₃w₁  - u₃v₂w₁ + u₃v₁w₂ - u₁v₃w₂ + u₁v₂w₃  - u₂v₁w₃

de tal modo que hemos demostrado que :

u.(vxw) = (uxv).w

Para saber más sobre el tema : https://brainly.lat/tarea/13881820