Question

El centro de una circunferencia esta en (-2, 4) y pasa por la interseccion de 4x - 7y + 10 = 0 y 3x + 2y - 7 = 0. Hallar la ecuacion ordinaria y general de dicha circunferencia

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

La ecuación canónica de la circunferencia es:

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

donde el centro esta localizado en el punto (h,k)

como nos están dando la ubicación del centro de la circunferencia, lo reemplazamos en la expresión:

$(x-(-2))^2+(y-(4))^2=r^2$

$(x+2)^2+(y-4)^2=r^2$

ahora, para calcular el radio, debemos buscar el punto de intersección de las rectas dadas en el enunciado, es decir:

$4x-7y+10=0$, que es igual a tener: $4x-7y=-10$

$3x+2y-7=0$, que equivale a tener: $3x+2y=7$

Para hallar el valor de x Y y, vamos a usar el método de sustitución, para ello despejaremos el valor de y en una de las ecuaciones y lo reemplazaremos en la otra ecuación:

despejando y en la ecuación 2 tenemos:

$y=\frac{7-3x}{2}$

reemplazando en la ecuación 1 nos queda:

$4x-7(\frac{7-3x}{2})=-10$

$(\frac{(8x-49+21x)}{2})=-10$

$8x-49+21x=-10*2$

$29x-49=-20$

$29x=49-20$

$29x=29$

$x=1$

para calcular el valor de y, reemplazamos el valor calculado de x en:

$y=\frac{7-3x}{2}$

$y=\frac{7-3(1)}{2}$

$y=\frac{4}{2}$

$y=2$

por lo tanto, el punto de intersección de las rectas esta en

x=1

y=2

para calcular el valor del radio, tomamos la expresión:

$(x+2)^2+(y-4)^2=r^2$

y reemplazamos en ella los valores obtenidos de x & y:

$(x+2)^2+(y-4)^2=r^2$

$(1+2)^2+(2-4)^2=r^2$

$(3)^2+(-2)^2=r^2$

$9+4=r^2$

$13=r^2$

y con este valor ya tenemos la ecuación de la circunferencia:

$(x+2)^2+(y-4)^2=13$

la ecuacion general se obtiene resolviendo la ecuación obtenida:

$x^2+2x*2+4+y^2-2y*4+16=13$

$x^2+4x+4+y^2-8y+16=13$

$x^2+4x+4+y^2-8y+16-13=0$

$x^2+4x+y^2-8y+7=0$

reorganizando los elementos se tiene:

$x^2+y^2+4x-8y+7=0$