En una encuesta de 100 personas sobre el consumo de tres bebidas A,B y C.
-67 consumen la Bebida A o B
-59 consumen la Bebida B o C
-75 consumen la Bebida A o C
-13 consumen bebidas A y B
-11 consumen bebidas B y C
-15 consumen bebidas A y C
-16 no consumen ninguna de tres bebidas.
a) Determine solos que beben la bebida A
b) Determine los que consumen las tres bebidas.
C) Determine los que consumen al menos dos bebidas.
d) Determine los que consumen a lo mucho dos bebidas.
e) Determine los que consumen solo dos bebidas.
f) Determine los que consumen una sola bebida.
Por favor, ayúdenme a resolverlo.
Respuestas
En la encuesta a 100 personas sobre el consumo de las bebida A, B y C tenemos:
a) Solo los que beben la bebida A son: No se puede determinar
b) Los que consumen las tres bebidas son: 3
c) Los que consumen al menos dos bebidas son: 33
d) Los que consumen a lo mucho dos bebidas son: 79
e) Los que consumen solo dos bebidas son: 30
f) Los que consumen una sola bebida son: 33
1. Lo primero es graficar los conjuntos mediante un Diagrama de Venn de 3 conjuntos (Imagen adjunta)
IMPORTANTE: Este tipo de ejercicios con muchas variables se suele resolver mediante sistemas de ecuaciones, aunque parece compleja por la cantidad de variables en realidad es bastante sencillo.
2. Luego, traducimos los enunciados en función de las variables del conjunto:
El total del personas es 100:
a + b + c + x + y + z + m + n = 100 ... (1)
67 consumen la Bebida A o B
a + b + x + y + z + m = 67 ... (2)
59 consumen la Bebida B o C
b + c + x + y + z + m = 59 ...(3)
75 consumen la Bebida A o C
a + c + x + y + z + m = 75 ... (4)
13 consumen bebidas A y B
y + m = 13 ...(5)
11 consumen bebidas B y C
z + m = 11 ... (6)
15 consumen bebidas A y C
x + m = 15 ...(7)
16 no consumen ninguna de tres bebidas.
n = 16 ... (8)
3. Y podemos resolver formado un sistema de ecuaciones:
- Trabamos con el sistema formado por (5) (6) y (7) y sumamos miembro a miembro:
y + m = 13
z + m = 11
x + m = 15
x + y + z + 3m = 39 ...(9)
- Ahora tomamos las ecuaciones (2) (3) y (4) y hacemos lo mismo que en sistema anterior:
a + b + x + y + z + m = 67
b + c + x + y + z + m = 59
a + c + x + y + z + m = 75
2a + 2b + 2c + 3x + 3y + 3z + 3m = 201
2(a + b +c) + 3(x + y + z) + 3m = 201 ... (10)
- Observamos que el x + y + z de (9) se puede reemplazar en (10)
2(a + b +c) + 3(x + y + z) + 3m = 201
2(a + b +c) + 3(39-3m) + 3m = 201
2(a + b +c) + 117 - 9m + 3m = 201
2(a + b +c) - 6m = 201 - 117
2(a + b +c) = 84 + 6m ... (11)
Ya podemos responder a las preguntas:
b) Determine los que consumen las tres bebidas y esto es "m": Para esto reemplazamos (8) (9) y (11) en (1) todo estaría en función de m
a + b + c + x + y + z + m + n = 100
(84 + 6m)/2 + 39 - 3m + m + 16 = 100 multiplicamos a todo por 2
84 + 6m + 78 - 6m + 2m + 32 = 200
2m = 200 - 84 - 78 - 32
m = 6/2
m = 3
f) Determine los que consumen una sola bebida: Estos son a+b+c, que lo obtendremos de la ecuación (11)
2(a + b +c) = 84 + 6m
a + b + c = (84 - 6(3))/2
a + b + c = 33
e) Los que consumen solo dos bebidas son: Estos son x + y + z, se obtiene de la ecuación (9)
x + y + z + 3m = 39
x + y + z = 39 - 3(3)
x + y + z = 30
d) Los que consumen a lo mucho dos bebidas son: Estos son a + b + c, además x + y + z, también los que no consumen ninguna bebida:
a + b + c + x + y + z + n = 33 + 30 + 16
a + b + c + x + y + z + n = 79
c) Los que consumen al menos dos bebidas son: Estos son los que consumen las 3 es decir: m más x + y + z
x + y + z + m = 30 + 3
x + y + z + m = 33
a) Los que consumen solo A, no se puede determinar, ya que no dan datos sobre los conjuntos de manera individual.