Question

Encuentra la matriz de transición de la base B1 = {(2, 2), (1, 3)} a la base B2 ={(0, 1), (2, -2)}

Answer 1

La matriz de transición de B1 a B2 es:

$M(Id)_{B1B2}=\left[\begin{array}{cc}4&4\\1&\frac{1}{2}\end{array}\right]$

Explicación paso a paso:

Para hallar la matriz de transición de cambio de base hemos de tener en cuenta que esta matriz es la que, sea v un elemento expresado en función de la base B1, su expresión en la base B2 es:

$M(Id)_{B1B2}.v_{B1}=v_{B2}$

O desglosándolo en su forma matricial:

$\left[\begin{array}{cc}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}a_{11}\\a_{21}\end{array}\right] =\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}b_{11}\\b_{21}\end{array}\right]$

Los coeficientes a son las coordenadas en la base B1 y los coeficientes b son las coordenadas en la base B2. De modo que en este caso puntual como estamos en $R^2$ consideramos los elementos (0,1) y (1,0) expresados en la base B1, siendo estos nada más ni nada menos que los vectores que forman la base B1.

$\left[\begin{array}{cc}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right] =\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}m_{12}\\m_{22}\end{array}\right]\\\\\left[\begin{array}{cc}m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22}\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right] =\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}m_{11}\\m_{21}\end{array}\right]$

De aquí concluimos que las columnas de la matriz de transición son las coordenadas de los vectores de la base B1 en la base B2. O lo que es lo mismo:

$(2,2)=m_{11}.(0,1)+m_{21}(2,-2)\\(1,3)=m_{12}.(0,1)+m_{22}(2,-2)$

Desglosando en cada coordenada queda:

$(2,2)=m_{11}.(0,1)+m_{21}(2,-2)\\2=2m_{21}=>m_{21}=1\\2=m_{11}-2m_{21}=>2=m_{11}-2.1 =>m_{11}=4\\\\(1,3)=m_{12}.(0,1)+m_{22}(2,-2)\\1=2m_{22}=>m_{22}=\frac{1}{2}\\3=m_{12}-2m_{22}=> 3=m_{12}-2\frac{1}{2}=m_{12}-1=>m_{12}=4$

Con lo cual la matriz de transición queda:

$M(Id)_{B1B2}=\left[\begin{array}{cc}4&4\\1&\frac{1}{2}\end{array}\right]$