Question

Hola, podéis Ayudarme plis : (

Answer 1

Respuesta:

↓

Explicación paso a paso:

a)

$\frac{1+\tan ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}=\frac{\sec ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}\\\\\mathrm{Simplificar}\:\frac{1+\tan ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}\\\\\frac{1+\tan ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}\\\\=\frac{1+\left(\sqrt{3}\right)^2}{\sin ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}\\\\=\frac{1+\left(\sqrt{3}\right)^2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$

$\mathrm{Simplificar}\\\\=\frac{16}{3}\\\\\mathrm{Simplificar}\:\frac{\sec ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}\\\\\frac{\sec ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}\\\\=\frac{2^2}{\sin ^2\left(\frac{5\pi }{3}\right)}\\\\=\frac{2^2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\\\\=\frac{16}{3}\\\\\mathrm{Se\:demostro\:que\:ambos\:lados\:pueden\:tomar\:la\:misma\:forma}\\\\\Rightarrow \mathrm{Verdadero}$

b)

$\sin \left(-\frac{19\pi }{6}\right)\cot \left(-\frac{19\pi }{6}\right)=\cos \left(-\frac{19\pi }{6}\right)\\\\Manipular\:un\:lado:\sin \left(-\frac{19\pi }{6}\right)\cot \left(-\frac{19\pi }{6}\right)\\\\\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad}:\quad \sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)\\\\=\cot \left(-\frac{19\pi }{6}\right)\left(-\sin \left(\frac{19\pi }{6}\right)\right)\\\\\mathrm{Usar\:la\:siguiente\:identidad}:\quad \cot \left(-x\right)=-\cot \left(x\right)$

$=\left(-\cot \left(\frac{19\pi }{6}\right)\right)\left(-\sin \left(\frac{19\pi }{6}\right)\right)\\\\\mathrm{Simplificar}\:\left(-\cot \left(\frac{19\pi }{6}\right)\right)\left(-\sin \left(\frac{19\pi }{6}\right)\right)\\\\\mathrm{Quitar\:los\:parentesis}:\quad \left(-a\right)=-a,\:-\left(-a\right)=a\\\\=\cot \left(\frac{19\pi }{6}\right)\sin \left(\frac{19\pi }{6}\right)\\\\=\sqrt{3}\sin \left(\frac{19\pi }{6}\right)\\\\=\sqrt{3}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\\=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$Manipular\:el\:otro\:lado:\cos \left(-\frac{19\pi }{6}\right)\\\\\mathrm{Simplificar}\:\cos \left(\frac{19\pi }{6}\right):\\\\\cos \left(\frac{19\pi }{6}\right)\\\\=\cos \left(\frac{7\pi }{6}\right)\\\\=-\frac{\sqrt{3}}{2}     \\\\\mathrm{Se\:demostro\:que\:ambos\:lados\:pueden\:tomar\:la\:misma\:forma}\\\\\Rightarrow \mathrm{Verdadero}$    

c)

$\frac{\sin ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)+\cos ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)}=\csc ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)\\\\\mathrm{Manipular\:un\:lado}:\frac{\sin ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)+\cos ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)}$

$\frac{\cos ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)+\sin ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)}{\sin ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)}\\\\=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{\sin ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)}\\\\=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}\\\\=\frac{4}{3}\\\\\mathrm{Manipular\:el\:otro}:\csc ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)\\\\\csc ^2\left(\frac{22\pi }{3}\right)$

$=\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2\\\\=\frac{4}{3}\\\\\mathrm{Se\:demostro\:que\:ambos\:lados\:pueden\:tomar\:la\:misma\:forma}\\\Rightarrow \mathrm{Verdadero}$

Answer 2

Respuesta:

a) $\frac{1+tan^2(5\pi /3)}{sen^2(5\pi /3} =\frac{sec^2(5\pi /3)}{sen^2(5\pi /3) }$

si usamos la identidad trigonométrica

$1+tan^2(x)=sec^2(x)$

para nuestro caso:

$1+tan^2(5\pi/3)=sec^2(5\pi/3)$

reemplazando en la ecuación dada se tiene:

$\frac{1+tan^2(5\pi /3)}{sen^2(5\pi /3} =\frac{sec^2(5\pi /3)}{sen^2(5\pi /3) }$

$\frac{sec^2(5\pi /3)}{sen^2(5\pi /3} =\frac{sec^2(5\pi /3)}{sen^2(5\pi /3) }$

y se pudo verificar que el lado izquierdo de la igualdad es idéntica al lado derecho.

b) $sen(-19\pi/6)cot(-19\pi/6)=cos(-19\pi/6)$

por definicion:

$cot(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}$

en nuestro ejercicio sera:

$cot(-19\pi/6)=\frac{cos(-19\pi/6)}{sen(-19\pi/6)}$

reemplazando en la ecuacion dad se tiene:

$sen(-19\pi/6)\frac{cos(-19\pi/6)}{sen(-19\pi/6)}=cos(-19\pi/6)$

simplificando las expresiones similares de numerador y denominador se obtiene:

$cos(-19\pi/6)=cos(-19\pi/6)$

obtenemos el mismo valor a ambos lados de la igualdad.

c) $\frac{sen^2(22\pi /3)+cos^2(22\pi/3)}{sen^2(22\pi/3) } =csc^2(22\pi /3)$

para el numerador de la expresión podemos usar la identidad trigonométrica:

$sen^2(x)+cos^2(x)=1$

para este ejercicio la expresión se convierte en:

$sen^2(22\pi /3)+cos^2(22\pi /3)=1$

reemplazando en la expresión nos queda:

$\frac{1}{sen^2(22\pi/3)} =csc^2(22\pi /3)$

acá se tiene que:

$\frac{1}{sen^2(x)}=csc^2(x)$

que para el ejercicio sera:

$\frac{1}{sen^2(22\pi /3)}=csc^2(22\pi /3)$

reemplazando se obtiene:

$\frac{1}{sen^2(22\pi/3)} =csc^2(22\pi /3)$

$csc^2(22\pi/3) =csc^2(22\pi /3)$

por tanto, la igualdad se mantiene a ambos lados de la expresión.