Question

Dada la siguiente matriz:

1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán
2. Calcular el rango por el método de determinantes
3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.

Answer 1

El rango de la matriz por:  

1. Método de Gauss Jordan.  

Rango(D) = 2

2. Método de determinantes.  

Rango(D) = 2

3. Es un sistema dependiente o independiente lineal.  

C₃,  es combinación lineal C₁ y C₂. Por lo tanto la matriz D es linealmente dependiente.

Explicación:  

Dada;  

$\left[\begin{array}{cccc}2&1&3&2\\3&2&5&1\\-1&1&0&-7\\3&-2&1&-17\\0&1&1&-4\end{array}\right]$

1. Se reducirá la matriz aplicando el método de Gauss Jordan, llevarla a la identidad y el rango sera el número de filas diferentes de cero.  

$\left[\begin{array}{cccc}2&1&3&2\\3&2&5&1\\-1&1&0&-7\\3&-2&1&-17\\0&1&1&-4\end{array}\right]$

f₁ → f₂

$\left[\begin{array}{cccc}3&2&5&1\\2&1&3&2\\-1&1&0&-7\\3&-2&1&-17\\0&1&1&-4\end{array}\right]$

f₂-2/3f₁  

f₃+1/3f₁

f₄-f₁  

$\left[\begin{array}{cccc}3&2&5&1\\0&-1/3&-1/3&4/3\\0&5/3&5/3&-20/3\\0&-4&-4&16\\0&1&1&-4\end{array}\right]$

f₂ → f₄  

$\left[\begin{array}{cccc}3&2&5&1\\0&-4&-4&16\\0&5/3&5/3&-20/3\\0&-1/3&-1/3&4/3\\0&1&1&-4\end{array}\right]$

f₃-5/12f₂

f₄-1/12f₂

f₅+f₂/4  

$\left[\begin{array}{cccc}3&2&5&1\\0&-4&-4&16\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$

Rango(B) = 2

2. Se elimina la columna C₃:

ya que es combinación lineal C₃ = C₁+C₂;

$\left[\begin{array}{cccc}2&1&2\\3&2&1\\-1&1&-7\\3&-2&-17\\0&1&-4\end{array}\right]$

Se debe tener una matriz cuadrada para aplicar determinante. Su rango sera mayor o igual a 4 si el determinante de las sub matices de orden 4 es diferente de cero.  

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&2\\3&2&1\\-1&1&-7\end{array}\right]$

Diagonalizar la matriz;

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&2\\3&2&1\\-1&1&-7\end{array}\right]$

f₂-3/2f₁

f₃+f₁/2

$=\left[\begin{array}{ccc}2&1&2\\0&1/2&-2\\0&3/2&-6\end{array}\right]$

f₃ - 3f₂

$=\left[\begin{array}{ccc}2&1&2\\0&1/2&-2\\0&0&0\end{array}\right]$

det = 0

El determinante es cero por lo tanto;  

Rango(D) < 3

Rango(D) = 2