Question

Una peque˜na esfera de 10−3 gramos cargada con q = 2.10−8 C cuelga
de un hilo formando un ´angulo de θ = 30 grados con una gran l´amina
de conductor uniformemente cargada y colocada en posici´on vertical
como indica la figura. Se desea calcular la densidad superficial de
carga de la l´amina.

Answer 1

La lámina cargada tiene una densidad superficial de carga de 5,01 nC por metro cuadrado. Según el signo de esta carga el hilo se inclina hacia la placa o alejándose de ella.

Explicación:

Las fuerzas que actúan sobre la esfera son el peso de la misma y la fuerza eléctrica que la atrae hacia la lámina o la repele de esta según el signo de la carga que tenga. La fuerza eléctrica es horizontal mientras que el peso es vertical. Si la cuerda que sostiene a la esfera forma un ángulo de 30° con la vertical, tenemos:

$F=\frac{mg}{cos(30\°)}$

La fuerza eléctrica es la componente horizontal de esta fuerza resultante, hallando el valor de esta fuerza tenemos:

$m=1x10^{-6}kg\\g=9,8\frac{m}{s^2}\\\\F=\frac{1x10^{-6}.9,8}{cos(30\°)}=1,132x10^{-5}N$

Ahora la fuerza eléctrica es:

$F_e=F.sen(30\°)=1,132x10^{-5}N.sen(30\°)=5,658x10^{-6}N$

Si consideramos la lámina como un plano infinito tenemos:

$F_e=qE=q\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

Donde q es la carga de la esfera y σ es la densidad superficial. Queda:

$\sigma=\frac{2\epsilon_0.F_e}{q}$

Y reemplazando valores:

$\epsilon_0=8,85x10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\\q=2x10^{-8}C\\\\\sigma=\frac{2.8,85x10^{-12}.5,658x10^{-6}}{2x10^{-8}C}=5,01x10^{-9}\frac{C}{m^2}$