Question

d)Una esfera de radio R tiene una densidad de carga ß/r, donde ß es una constante y r es la distancia al centro de la esfera. Calcula el campo eléctrico como función de r para:
-Puntos interiores a la esfera (r < R).
-Puntos exteriores a la esfera (r > R).

Answer 1

En el interior de la esfera el campo eléctrico es:

$E=\frac{\beta}{4\epsilon}$

Mientras que en el exterior es:

$E=\frac{\beta R^2}{4\epsilon_0 r^2}$

Desarrollo:

Si la esfera tiene una densidad de carga $\frac{\beta}{r}$ no uniforme, la aplicación de la ley de Gauss resulta:

$\int\limits^{}_S {E} \, dA =\frac{Q}{\epsilon}$

Donde S es la superficie gaussiana que vamos a usar, y Q es la carga encerrada por esta superficie.

Para puntos interiores de la esfera tenemos:

$Q=\int\limits^{}_V {\rho(r)} \, dv$

Donde r es la distancia al centro donde estamos analizando que en este caso es igual al radio de la superficie gaussiana. Podemos tomar como diferencial de volumen una corteza esférica de espesor dr:

$dV=\frac{4}{3}\pi((r+dr)^3-r^3)\\dV=\frac{4}{3}\pi(3r^2+3rdr+dr^2)dr=$

En esta expresión considero:

$3r^2>>3rdr+dr^2$

Por lo que aproximo a:

$dV=4\pi r^2dr$

La integral queda:

$Q=\int\limits^{r}_0 {\frac{\beta}{r}} \, 2\pi r^2 dr=2\pi\beta\int\limits^{r}_0 {r} \,dr\\\\Q=\pi\beta r^2$

Ahora si consideramos uniforme el campo en toda la superficie gaussiana por ser esta una esfera concéntrica a la esfera bajo estudio queda:

$\int\limits^{}_S {E} \, dA =\frac{\pi\beta r^2}{\epsilon}\\\\4\pi r^2E=\frac{\pi\beta r^2}{\epsilon}\\\\E=\frac{\beta}{4\epsilon}$

Donde ε es la permisividad dieléctrica del material de la esfera. Concluyendo que en el interior de la esfera el campo eléctrico es uniforme e independiente de la distancia al centro.

En el exterior de la esfera tenemos:

$\int\limits^{}_S {E} \, dA =\frac{Q}{\epsilon_0}$

Donde ahora Q es la carga total encerrada en la esfera que será:

$Q=\pi \beta R^2$

Ya que esta vez la superficie gaussiana encierra la totalidad de la esfera.

Ahora la ley de Gauss queda:

$\int\limits^{}_S {E} \, dA =\frac{\pi \beta R^2}{\epsilon_0}$

Si consideramos uniforme el campo eléctrico en toda la superficie gaussiana:

$4\pi r^2E =\frac{\pi \beta R^2}{\epsilon_0}\\\\E=\frac{\beta R^2}{4\epsilon_0 r^2}$

Donde empleamos la permisividad dieléctrica del vacío porque el campo eléctrico se está estudiando en el medio exterior de la esfera donde se supone hay aire.