Question

1. Determine si el conjunto S genera a R^3:
S={(-2,5,0),(4,6,3)}

2. Determine si el conjunto S es linealmente dependiente.
S={(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)}

Answer 1

El conjunto S ={(-2,5,0), (4,6,3)}  No genera a r³ .

El conjunto S={(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)} es linealmente dependiente.

Explicación paso a paso:  

Dados;  

1. S ={(-2,5,0), (4,6,3)}

Para que el conjunto S genere el espacio r³, si los vectores se pueden expresar como una combinación lineal.  

Combinación lineal:  

(x,y,z)  = α₁(-2,5,0))+α₂(4,6,3)

x = -2α₁ + 4α₂

y = 5α₁+6 α₂

z = 3α₂      ⇒  α₂ = z/3

Sustituir;

x = -2α₁ + 4(z/3)    ⇒   α₁ = -x/2+2/3z

y = 5α₁+6(z/3)    ⇒   α₁ = (y - 2z)/5

El conjunto S, No genera R³, y que α no tiene una solución única.  Por lo que

2. S={(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)}

α₁(1,1,1)+α₂(2,2,2)+α₃(3,3,3) = (0,0,0)

α₁ + 2α₂ + 3α₃= 0

α₁ +2α₂+ 3α₃ = 0

α₁ + 2α₂ + 3α₃= 0

El determinante formado por la matiz de coeficientes del sistema, si este dar distinto de cero el sistema el linealmente independiente.

$det=\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{array}\right]$

= [(2)(3)-(2)(3)]-[(1)(3)-(1)(3)]+[(1)(2)-(1)(2)]  

= 0 - 0 + 0

= 0

El conjunto es linealmente dependiente.