Question

Se va a construir un corral rectangular con 480 metros de malla y con la misma malla se harán cuatro separaciones paralelas a uno de los lados, de tal forma que se tengan 5 rectángulos dentro del mismo corral ¿Que dimensiones producen un área máxima total del corral?

Answer 1

El área máxima total del corral rectangular dividido en 5 secciones rectangulares paralelas que se puede cercar con 480 metros de malla es de 4800 metros cuadrados y se logra con dimensiones del mismo de 120x40 metros.

Explicación:

Si el corral se va a dividir en 5 secciones rectangulares mediante la colocación de 4 separaciones paralelas además de cercarse con la misma malla, la ecuación de la longitud de la malla es:

$p=2b+2h+4h=2b+6h=480$

Suponiendo que las divisiones serán a lo largo del lado h. El área es:

$A=b.h$

Ahora si queremos poner todo en función de h queda:

$2b+6h=480\\2b=480-6h\\b=\frac{480-6h}{2}=240-3h$

La función área queda:

$A=h(240-3h)$

$A=240h-3h^2$

La condición de máximo de una función es:

$f'(x)=0\\f''(x)<0$

Con lo que hallamos las derivadas de esta:

$A'(h)=240-6h\\A''(h)=-6$

La derivada segunda es siempre negativa así que igualando la derivada primera a cero obtenemos el valor de h que hace máxima al área:

$240-6h=0\\h=\frac{240}{6}=40$

Ahora el lado b lo hallamos reemplazando en la ecuación de b el valor de h que acabamos de hallar:

$b=240-3h=240-3.40=120$

Con lo que con 480 metros de malla, las dimensiones que maximizan el área son 120x40 metros.