Question

Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función

Answer 1

La función tiene un mínimo en $x=\sqrt[3]{7}$ y no tiene puntos de inflexión.

Explicación paso a paso:

Vamos a repasar las condiciones de máximos, mínimos y puntos de inflexión. La condición de máximo en un punto x0 de la función es:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)<0$

La condición de mínimo por otro lado es:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)>0$

Los puntos de inflexión son aquellos donde cambia la concavidad de la función, la concavidad está dada por el signo de la derivada segunda, por lo que se puede decir que un punto de inflexión es aquel donde:

$f''(x_0)=0$

Vamos a hallar pues, las derivadas de la función:

$f'(x)=\frac{4}{7}x^3-4\\\\f''(x)=\frac{12}{7}x^2$

Los extremos de la función son los puntos donde la derivada es nula:

$\frac{4}{7}x^3-4=0\\x^3=\frac{7}{4}.4=7\\\\x=\sqrt[3]{7}$

Analizando la derivada segunda, esta es siempre positiva, por lo que el extremo es un mínimos.

En cuanto a los puntos de inflexión, la derivada segunda es nula en:

$\frac{12}{7}x^2=0\\x=0$

Pero como no cambia de signo, la función no cambia su concavidad, por lo que no es un punto de inflexión.