Question

El radio de una sandía esférica está creciendo a una velocidad constante de 2 centímetros por semana. El grosor de la cáscara siempre es la décima parte del radio. ¿Qué tan rápido está creciendo el volumen de la cáscara al final de la quinta semana? Suponga que el radio inicialmente es cero.

(aplicación de derivadas)

Answer 1

el cascarón de la sandía aumenta a razón de 831,8937 cm³ por semana cuando r = 10cm (en la quinta semana)

Para poder resolver este ejercicio, debemos recordar que el volumen de un cascarón es

V = 4π(R³ - r³)/3 Donde R es el radio exterior y r el radio interior, en nuestro caso, sabemos que R = r + 0.1r = 1.1r, por lo que

V = 4π[ (1.1)³ r³ - r³ ] /3 = 4π(1.331r³ - r³)/3 = 0.331*4πr³/3

Una vez hecho esto, tenemos que usar la regla de la cadena, que dice

$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}\frac{dr}{dt}$

( que es lo que necesitamos :v)

Entonces

$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr}\frac{dr}{dt} = (3\times0,331\times\frac{4}{3}\pi r^2)(2 cm/sem) = \\\\2,648\pi r^2$

Teniendo esto, sabemos que si r crece a 2 cm/sem e inicialmente  r = 0cm, entonces en la quinta semana va a tener r = 2cm/sem * 5sem = 10cm

Este valor lo colocamos en la ecuación de arriba y nos da

$\frac{dV}{dt} = 2,648\pi \times 100 = 264.8\pi \approx 831,8937 cm^3 / sem$

Es decir, el cascarón de la sandía aumenta a razón de 831,8937 cm³ por semana cuando r = 10cm (en la quinta semana)

Answer 2

Respuesta:

El cascarón aumenta 681 cm cúbicos al final de la quinta semana

Explicación paso a paso:

Conocemos los siguientes datos:

radio=2t (siendo t cada semana)

grosor=radio/10

El volumen del cascarón lo podemos calcular como el Volumen de la sandía quitándole el volumen extra

Volumen cascarón = Volumen de la sandía - Volumen extra

Volumen de la sandía = (4πr³)/3

Volumen extra = (4π(radio-grosor)³)/3 = (4π(r- r/10)³)/3 = (4π(9r/10)³)/3 = 972πr³/1000

Volumen cascarón = 4πr³/3 - 972πr³/1000 = 271πr³/750

Derivamos con respecto al tiempo t

Dt(Volumen cascarón)= Dt(271πr³/750)=(271π/750)*Dt(r³)

=(271π/750)*3r²*Dt(r) = (271πr²/250)*Dt(r)

Recordemos que el radio=2t, por lo tanto Dt(radio)=Dt(2t)=2

(271πr²/250)*Dt(r)=(271πr²/250)*2= 542πr²/250

Radio=2t, y si hablamos de la quinta semana t=5 y radio=10

542πr²/250 = 1084π/5 = 681.097...