Question

calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación:


f(x)=(√x+2)(2x^4-x^3)

f(x)=(√x-1)/(x^3-1)

f(x)=(3x^2-5x)^3.x^2x

Answer 1

Las derivadas de las tres funciones son respectivamente:

a) $f'(x)=9x^3\sqrt{x}-\frac{7}{2}x^2\sqrt{x}+16x^3-6x^2$

b) $f'(x)=\frac{6x^2\sqrt{x}-5x^3-1}{2\sqrt{x}(x^3-1)^2}$

c) $f'(x)=(3x^2-5x)^2x^{2x}[6x^2+8x-15+2(3x^2-5x)ln(x)]$

Desarrollo:

Para hallar las tres derivadas se utiliza la regla de producto, por la cual sean f y g dos funciones tenemos:

$(fg)'=f'g+fg'$

Y para la primera función tenemos:

$f(x)=(\sqrt{x}+2)(2x^4-x^3)$

Por regla de producto tenemos:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}(2x^4-x^3)+(\sqrt{x}+2)(8x^3-3x^2)\\\\f'(x)=\frac{1}{2}\frac{2x^4-x^3}{x^{\frac{1}{2}}}+[x^{\frac{1}{2}}.8x^3-x^{\frac{1}{2}}.3x^2+16x^3-6x^2]\\\\f'(x)=x^{\frac{7}{2}}-\frac{1}{2}x^{\frac{5}{2}}+8x^{\frac{7}{2}}-3x^{\frac{5}{2}}+16x^3-6x^2\\\\x^{\frac{7}{2}}=x^3\sqrt{x}\\x^{\frac{5}{2}}=x^2\sqrt{x}\\\\f'(x)=9x^3\sqrt{x}-\frac{7}{2}x^2\sqrt{x}+16x^3-6x^2=$

Para la segunda función tenemos:

$f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x^3-1}$

Aquí aplicamos la regla de cociente por la cual:

$(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

Reemplazando por las funciones tenemos:

$f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x^3-1)-(\sqrt{x}-1).3x^2}{(x^3-1)^2}$

Aplicando distribución:

$f'(x)=\frac{\frac{1}{2}(x^{-\frac{1}{2}}x^3-x^{-\frac{1}{2}})-3x^2x^{\frac{1}{2}}+3x^2}{(x^3-1)^2}\\\\f'(x)=\frac{\frac{1}{2}x^\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-3x^{\frac{5}{2}}+3x^2}{(x^3-1)^2}$

Operando queda:

$f'(x)=\frac{-\frac{5}{2}x^\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+3x^2}{(x^3-1)^2}\\\\f'(x)=\frac{-\frac{5}{2}x^\frac{5}{2}-\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{6}{2}x^2}{(x^3-1)^2}\\\\f'(x)=\frac{-5x^\frac{5}{2}-x^{-\frac{1}{2}}+6x^2}{2(x^3-1)^2}=\frac{-5x^2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}+6x^2}{2(x^3-1)^2}\\\\f'(x)=\frac{6x^2\sqrt{x}-5x^3-1}{2\sqrt{x}(x^3-1)^2}$

En cuando al tercer ejercicio tenemos:

$f(x)=(3x^2-5x)^3.x^{2x}$

El segundo factor hay que resolverlo mediante una derivada logarítmica, por el método de la derivada implícita:

$y=x^{2x}\\\\ln(y)=ln(x^{2x})\\\\ln(y)=2xln(x)$

Derivamos en ambos miembros tratando a y como una función en sí misma:

$\frac{1}{y}.y'=2ln(x)+2x\frac{1}{x}\\\\\frac{y'}{y}=2ln(x)+2\\\\y'=(2ln(x)+2).y$

Como $y=x^{2x}$ queda:

$y'=(2ln(x)+2).x^{2x}$

Habiendo hecho esta salvedad aplicamos la regla de producto a la función.

$f'(x)=3(3x^2-5x)^2(6x-5)x^{2x}+(3x^2-5x)^3.(2ln(x)+2).x^{2x}$

En esta expresión puedo sacar un factor común $(3x^2-5x)^2x^{2x}$ y queda;

$f'(x)=(3x^2-5x)^2x^{2x}[3(6x-5)+(3x^2-5x).(2ln(x)+2)]\\\\f'(x)=(3x^2-5x)^2x^{2x}[3(6x-5)+(3x^2-5x)2ln(x)+2(3x^2-5x)]\\\\f'(x)=(3x^2-5x)^2x^{2x}[18x-15+2(3x^2-5x)ln(x)+6x^2-10x]\\\\f'(x)=(3x^2-5x)^2x^{2x}[6x^2+8x-15+2(3x^2-5x)ln(x)]$