Question

Encuentre tres números positivos cuya suma sea 100 y su producto sea máximo

Answer 1

Respuesta:

100/3, 100/3, 100/3

Explicación:

1) la suma seria x + y + z = 100 y el producto seria P = xyz

2) Reescribir P en términos de x,y por lo tanto hacemos z = 100 -x -y

     P(x,y) = xy * (100-x-y) = 100xy - (x^2) y - x (y^2)

3) Buscamos los puntos criticos para P utilizando las primeras derivadas parciales de P respecto a "y" y respecto a "x"

-Derivada parcial respecto a x

$Px = 100y -2xy - y^{2}$  simplificando tendriamos $Px = 100 -2x - y$  igualamos a 0 y despejamos para x y tenemos que $x = 50 - \frac{y}{2}$  de aqui podemos deducir que $Px = 0$ cuando y = 100 por lo que un punto critico seria (0,100) el cual no serviría pues el producto de los tres números seria 0

-Derivada parcial respecto a y

$P_{y} = 100x -2xy - x^{2}$  simplificando tendriamos $Py = 100 -x - 2y$  igualamos a 0 vemos que despejamos para x y tenemos que $y = 50 - \frac{x}{2}$ por lo tanto  $Py = 0$ cuando x = 100 por lo que un punto critico seria (100,0) el cual no serviría pues el producto de los tres números seria 0.

Para encontrar el punto critico correcto sustituimos el valor de x colocamos la derivada parcial de P respecto a y en terminos de y haciendo $x = 50 - \frac{y}{2}$

entonces tenemos $0 = 100 -50 + \frac{y}{2} - 2y$ despejando y tenenmos $y=\frac{100}{3}$

usando el valor de y encontrado para calcular x tenemos que $x = \frac{100}{3}$

4) como z = 100 - x - y

$z=\frac{100}{3}$